Demonstre que:
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a desigualdade envolvendo valores absolutos
O conteúdo de matéria é desigualdade triangular e suas consequências (também chamada de desigualdade triangular reversa). Vamos usar a forma padrão da desigualdade triangular
Passo 2
Aplique a desigualdade triangular com
e
. Temos
Isso é exatamente a desigualdade triangular para decompor
em
.
Passo 3
Reorganizando a desigualdade do passo anterior, subtraímos
de ambos os lados e obtemos
Esta é a forma não estrita (
) da desigualdade solicitada.
Passo 4
Para ver por que geralmente podemos reforçar para “<”, analisamos o caso de igualdade em
. A igualdade na desigualdade triangular ocorre se e somente se os vetores (ou números reais)
e
têm a mesma direção (ou seja, em
têm o mesmo sinal) ou um deles é zero. Nesses poucos casos especiais temos
mas em todas as outras situações a desigualdade é estrita:
Resposta
A desigualdade
segue diretamente da desigualdade triangular aplicada a
, e a condição de igualdade só ocorre quando
e
têm a mesma direção. Nos demais casos a relação é estrita. Portanto