Demonstre que:
|a|-|b|<|a-b|;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a desigualdade envolvendo valores absolutos
|a| - |b| < |a - b|
O conteúdo de matéria é desigualdade triangular e suas consequências (também chamada de desigualdade triangular reversa). Vamos usar a forma padrão da desigualdade triangular
|x + y| <= |x| + |y|

Passo 2

Aplique a desigualdade triangular com x = a - b e y = b. Temos
|a| = |(a - b) + b| <= |a - b| + |b|
Isso é exatamente a desigualdade triangular para decompor a em (a - b) + b.

Passo 3

Reorganizando a desigualdade do passo anterior, subtraímos |b| de ambos os lados e obtemos
|a| - |b| <= |a - b|
Esta é a forma não estrita ( <=) da desigualdade solicitada.

Passo 4

Para ver por que geralmente podemos reforçar para “<”, analisamos o caso de igualdade em |(a-b)+b| = |a-b| + |b|. A igualdade na desigualdade triangular ocorre se e somente se os vetores (ou números reais) a-b e b têm a mesma direção (ou seja, em R têm o mesmo sinal) ou um deles é zero. Nesses poucos casos especiais temos
|a| - |b| = |a - b|,
mas em todas as outras situações a desigualdade é estrita:
|a| - |b| < |a - b|

Resposta

A desigualdade
|a| - |b| <= |a - b|
segue diretamente da desigualdade triangular aplicada a (a-b)+b, e a condição de igualdade só ocorre quando (a-b) e b têm a mesma direção. Nos demais casos a relação é estrita. Portanto
|a| - |b| < |a - b|

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