Sejam a e b números reais positivos. Mostre que:
-b<x<a Leftrightarrow|2 x+b-a|<a+b;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre a dupla desigualdade
-b < x < a
e a desigualdade envolvendo valor absoluto
|2x + b - a| < a + b
O conteúdo aqui é manipular desigualdades compostas e usar a definição de valor absoluto:
|u| < c iff -c < u < c

Passo 2

Aplicamos a definição de valor absoluto à expressão u = 2x + b - a e c = a + b. Assim
|2x + b - a| < a + b
é equivalente à desigualdade composta
-(a+b) < 2x + b - a < a + b

Passo 3

Agora resolvemos essa desigualdade composta para x. Primeiro a parte esquerda:
-(a+b) < 2x + b - a
-(a+b) - (b - a) < 2x
-,a - b - b + a < 2x
-2b < 2x
-b < x
Em seguida a parte direita:
2x + b - a < a + b
2x < a + b + a - b
2x < 2a
x < a
Combinando, obtemos exatamente
-b < x < a

Passo 4

Para a recíproca, partindo de -b < x < a, basta multiplicar a dupla desigualdade por 2 e somar b - a em todos os termos:
-2b < 2x < 2a
-2b + b - a < 2x + b - a < 2a + b - a
-(a+b) < 2x + b - a < a + b,
o que, pela definição de valor absoluto, dá
|2x + b - a| < a + b

Resposta

Mostramos as duas implicações, logo
-b < x < a ;Long<=ftrightarrow; |2x + b - a| < a + b

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