Sejam
e
números reais positivos. Mostre que:
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência entre a dupla desigualdade
e a desigualdade envolvendo valor absoluto
O conteúdo aqui é manipular desigualdades compostas e usar a definição de valor absoluto:
Passo 2
Aplicamos a definição de valor absoluto à expressão
e
. Assim
é equivalente à desigualdade composta
Passo 3
Agora resolvemos essa desigualdade composta para
. Primeiro a parte esquerda:
Em seguida a parte direita:
Combinando, obtemos exatamente
Passo 4
Para a recíproca, partindo de
, basta multiplicar a dupla desigualdade por 2 e somar
em todos os termos:
o que, pela definição de valor absoluto, dá
Resposta
Mostramos as duas implicações, logo