Demonstre que:
||a|-|b||<|a-b|;
quaisquer que sejam os números a e b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados quaisquer reais a e b, vale
l|,|a|-|b|,r|<= |a-b|
O conteúdo principal que vamos usar é a desigualdade triangular, que diz que para quaisquer reais x,y
|x+y|<= |x|+|y|

Passo 2

Aplicamos a desigualdade triangular com x=a-b e y=b. Então
|a| = |(a-b)+b|<= |a-b| +|b|
e, a partir daí, isolamos
|a|-|b|<= |a-b|

Passo 3

Agora trocamos os papéis de a e b. Com x=b-a e y=a a desigualdade triangular dá
|b| = |(b-a)+a|<= |b-a| +|a| = |a-b| +|a|
e isolando ficamos com
|b|-|a|<= |a-b|

Passo 4

Das duas desigualdades
|a|-|b|<= |a-b| e |b|-|a|<= |a-b|
segue que tanto |a|-|b| quanto -(|a|-|b|) são <=|a-b|. Por definição de valor absoluto, isso significa
l|,|a|-|b|,r|<=|a-b|

Resposta

boxedl|,|a|-|b|,r|<=|a-b|

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