Demonstre:
A backslash(B cap C)=(A backslash B) cup(A backslash C)

Passo 1

Vamos provar a igualdade de conjuntos
A setminus (B cap C) ;=; (A setminus B),cup,(A setminus C)
usando o método de dupla inclusão: primeiro mostramos que o lado esquerdo está contido no direito e depois o contrário.

Passo 2

Prova de Asetminus(Bcap C)subseteq (Asetminus B)cup(Asetminus C).
Seja xin Asetminus(Bcap C). Por definição de diferença e interseção isso significa
xin A e xnotin Bcap C
Como xnotin Bcap C vale a lei de De Morgan,
xnotin Bcap C Long<=ftrightarrow l(xnotin Br);lor;l(xnotin Cr)
Logo, temos
xin A e l(xnotin Br);lor;l(xnotin Cr)
Distributiva do “e” sobre “ou” dá
l(xin Aland xnotin Br) ;lor; l(xin Aland xnotin Cr),
isto é,
xin Asetminus B lor xin Asetminus C,
portanto xin (Asetminus B)cup(Asetminus C).

Passo 3

Prova de (Asetminus B)cup(Asetminus C)subseteq Asetminus(Bcap C).
Seja xin (Asetminus B)cup(Asetminus C). Então ou
  1. xin Asetminus B, isto é, xin A e xnotin B,
    ou
  2. xin Asetminus C, isto é, xin A e xnotin C.
Em ambos os casos temos xin A. Além disso, em (1) xnotin B já implica xnotin Bcap C, e em (2) xnotin C também implica xnotin Bcap C. Logo em qualquer caso
xin A e xnotin Bcap C,
o que significa xin Asetminus(Bcap C).

Resposta

Como provamos as duas inclusões, concluímos
Asetminus(Bcap C) ;=; (Asetminus B)cup(Asetminus C)

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