Determinar as seguintes taxas proporcionais:
9 \% a.s. é proporcional a qual taxa trimestral?

Passo 1

O enunciado dá uma taxa de \,9\% ao semestre (escrito como \,9\% a.s.) e pede: a qual taxa trimestral essa taxa é proporcional?
Informações dadas:
  • Taxa semestral: \;r_{\text{sem}} = 9\% = 0,09.
  • Duração do semestre: 6 meses.
  • Duração do trimestre: 3 meses.
    O que se pede: encontrar a taxa por trimestre proporcional à taxa dada por semestre.

Passo 2

Entendendo “taxas proporcionais” (explicação didática).
Quando dizemos que duas taxas são proporcionais, estamos assumindo proporcionalidade direta ao tempo: a parcela de juros cresce linearmente com o tempo (modelo de proporcionalidade simples). Em símbolos, se uma taxa \,r_1 vale para um intervalo de tempo \,t_1 e \,r_2 vale para um intervalo \,t_2, a proporcionalidade é expressa por
r_1\,t_1 = r_2\,t_2.
Aqui cada r é a taxa por período correspondente (em razão, não em porcentagem) e cada t é a duração medida na mesma unidade (por exemplo, meses). Descrevendo as variáveis:
  • \,r_{\text{sem}} = taxa no semestre (raiz decimal, ex.: 0,09).
  • \,t_{\text{sem}} = 6 meses.
  • \,r_{\text{tri}} = taxa no trimestre que queremos achar.
  • \,t_{\text{tri}} = 3 meses.

Passo 3

Isolando \,r_{\text{tri}} na fórmula da proporcionalidade:
r_{\text{sem}}\,t_{\text{sem}} = r_{\text{tri}}\,t_{\text{tri}} \quad\Longrightarrow\quad r_{\text{tri}} = r_{\text{sem}}\cdot\frac{t_{\text{sem}}}{t_{\text{tri}}}\cdot\frac{t_{\text{tri}}}{t_{\text{tri}}} = r_{\text{sem}}\cdot\frac{t_{\text{tri}}}{t_{\text{sem}}}.
Simplificando:
r_{\text{tri}} = r_{\text{sem}}\cdot\frac{t_{\text{tri}}}{t_{\text{sem}}}.

Passo 4

Substituindo os números (tudo explicado passo a passo):
r_{\text{sem}} = 0,09,\qquad t_{\text{tri}}=3,\qquad t_{\text{sem}}=6.
r_{\text{tri}} = 0,09\cdot\frac{3}{6}.
Calcule \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}, então
r_{\text{tri}} = 0,09\cdot\frac{1}{2} = 0,045.
Convertendo para porcentagem: 0,045 = 4{,}5\%.

Passo 5

Verificação rápida com um exemplo numérico (para sentir que faz sentido): se se aplica R$ 1{,}000 por um semestre a 9\%, o juro no semestre é 1{,}000\times0,09 = 90 reais. Em um trimestre proporcional seria metade desse juro: 90/2=45 reais, que corresponde a 4{,}5\% de 1{,}000. Confere.

Passo 6

Observação importante (para prova): “proporcional” não é o mesmo que “equivalente” quando há capitalização composta. Se fosse procurar a taxa trimestral equivalente com capitalização composta, usar-se-ia
1+r_{\text{sem}} = (1+r_{\text{tri,eq}})^{2},
levando a \;r_{\text{tri,eq}} = (1+0,09)^{1/2}-1 \approx 0,04403 \approx 4{,}403\%, que é diferente de 4{,}5\%. Mas como a questão pediu “proporcional”, a resposta correta é a proporcional linear encontrada acima.

Resposta

\;4{,}5\%\\ \text{ao trimestre}

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