Demonstre que o alcance horizontal máximo (
) é quatro vezes a altura máxima
atingida pelo projétil, quando lançado com o ângulo que maximiza o alcance horizontal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num lançamento de projétil sem resistência do ar e sobre terreno horizontal, o alcance horizontal máximo
é quatro vezes a altura máxima
, quando o ângulo de lançamento é aquele que maximiza o alcance. Vamos usar as equações paramétricas do movimento uniformemente acelerado em
e
, depois obter expressão geral para o alcance
e para a altura máxima
, e por fim avaliar ambas em
.
Passo 2
Escrevemos as posições no plano:
onde
é a velocidade inicial,
é o ângulo de lançamento e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Para achar a altura máxima
, observamos que ela ocorre quando a componente vertical da velocidade zera. O instante desse pico é
Substituindo em
dá
Passo 4
Para o alcance
, achamos o tempo de retorno ao solo em
(além de
), que é
Então
Passo 5
Sabemos que
atinge o máximo igual a 1 quando
, i.e.\
. Logo
Passo 6
Comparando
e
:
Resposta
Mostra-se que, para
, vale