Demonstre que o alcance horizontal máximo ( R_{\max } ) é quatro vezes a altura máxima \left(H_{\max }\right) atingida pelo projétil, quando lançado com o ângulo que maximiza o alcance horizontal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num lançamento de projétil sem resistência do ar e sobre terreno horizontal, o alcance horizontal máximo R_{\max} é quatro vezes a altura máxima H_{\max}, quando o ângulo de lançamento é aquele que maximiza o alcance. Vamos usar as equações paramétricas do movimento uniformemente acelerado em x e y, depois obter expressão geral para o alcance R e para a altura máxima H, e por fim avaliar ambas em \theta=45^\circ.

Passo 2

Escrevemos as posições no plano:
x(t)=v_0\cos\theta\;t,
y(t)=v_0\sin\theta\;t-\tfrac12\,g\,t^2,
onde v_0 é a velocidade inicial, \theta é o ângulo de lançamento e g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Para achar a altura máxima H, observamos que ela ocorre quando a componente vertical da velocidade zera. O instante desse pico é
t_H=\frac{v_0\sin\theta}{g}.
Substituindo em y(t)
H(\theta)=y(t_H) =\;v_0\sin\theta\cdot\frac{v_0\sin\theta}{g} -\tfrac12\,g\Bigl(\frac{v_0\sin\theta}{g}\Bigr)^2 =\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2\,g}.

Passo 4

Para o alcance R, achamos o tempo de retorno ao solo em y=0 (além de t=0), que é
t_R=\frac{2\,v_0\sin\theta}{g}.
Então
R(\theta)=x(t_R) =v_0\cos\theta\;\frac{2\,v_0\sin\theta}{g} =\frac{v_0^2}{g}\,\bigl(2\sin\theta\cos\theta\bigr) =\frac{v_0^2}{g}\,\sin(2\theta).

Passo 5

Sabemos que \sin(2\theta) atinge o máximo igual a 1 quando 2\theta=90^\circ, i.e.\ \theta=45^\circ. Logo
R_{\max}=R(45^\circ)=\frac{v_0^2}{g}\quad\text{e}\quad H_{\max}=H(45^\circ)=\frac{v_0^2\sin^2(45^\circ)}{2\,g} =\frac{v_0^2}{2\,g}\,\frac12 =\frac{v_0^2}{4\,g}.

Passo 6

Comparando R_{\max} e H_{\max}:
\frac{R_{\max}}{H_{\max}} =\frac{\tfrac{v_0^2}{g}}{\tfrac{v_0^2}{4\,g}} =4 \quad\Longrightarrow\quad R_{\max}=4\,H_{\max}.

Resposta

Mostra-se que, para \theta=45^\circ, vale
R_{\max}=4\,H_{\max}.

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