Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=2-x.
Calcule \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+2 x}-\sqrt{x^{2}+4}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}-\sqrt{x^{2}+4}\bigr).
O conteúdo principal é limite de funções em x\to-\infty e a técnica de racionalização de diferença de raízes.

Passo 2

Para racionalizar, multiplicamos e dividimos pela soma das raízes (o conjugado):
\sqrt{x^{2}+2x}-\sqrt{x^{2}+4} = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}-\sqrt{x^{2}+4}\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{x^{2}+4}\bigr)} {\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{x^{2}+4}} = \frac{(x^{2}+2x)-(x^{2}+4)}{\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{x^{2}+4}}.

Passo 3

Simplificando o numerador:
(x^{2}+2x)-(x^{2}+4)=2x-4,
logo a expressão vira
\frac{2x-4}{\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{x^{2}+4}}.

Passo 4

Como x\to -\infty, temos \sqrt{x^{2}+ax}\approx|x|\sqrt{1+\tfrac{a}{x}} e |x|=-x. Então
\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{x^{2}+4} \approx -x\Bigl(\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{4}{x^{2}}}\Bigr).
Substituindo,
\frac{2x-4}{\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{x^{2}+4}} = \frac{2x\bigl(1-\tfrac{2}{x}\bigr)}{-x\bigl(\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{4}{x^{2}}}\bigr)} = -\frac{2-\tfrac{4}{x}}{\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{4}{x^{2}}}}.

Passo 5

Fazendo x\to -\infty, os termos \tfrac{4}{x} e \tfrac{2}{x}, \tfrac{4}{x^{2}} vão a zero. Assim
-\frac{2-0}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}} =-\frac{2}{1+1} =-1.

Resposta

-1

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