Demonstre que, ao assumir como uma variável discreta a energia de radiação emitida por um corpo negro, Planck obteve que a energia média das radiações é dada por
Dica: inicie o cálculo com a definição de energia média para uma função discreta:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao colocar níveis de energia discretos
e adotando o peso de Boltzmann
a energia média das radiações fica
Vamos usar a definição de valor esperado para variável discreta e séries geométricas.
Passo 2
A energia média é
Para simplificar, definimos
Passo 3
Calculamos as duas séries geométricas:
- Denominador:
- Numerador (usando
):
Multiplicando pelo fator
, o numerador completo é
Passo 4
Substituindo em
:
Como
chegamos ao resultado buscado.