Demonstre que, ao assumir como uma variável discreta a energia de radiação emitida por um corpo negro, Planck obteve que a energia média das radiações é dada por
\langle E\rangle=\frac{\Delta E}{\left(e^{\Delta E / k T}-1\right)} .
Dica: inicie o cálculo com a definição de energia média para uma função discreta:
\langle E\rangle=\frac{\sum n . \Delta E . f(n . \Delta E)}{\sum f(n . \Delta E)}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao colocar níveis de energia discretos
E_{n}=n\,\Delta E,\quad n=0,1,2,\dots
e adotando o peso de Boltzmann
f(E_{n})\propto e^{-E_{n}/(kT)}\,,
a energia média das radiações fica
\bigl\langle E\bigr\rangle=\frac{\Delta E}{e^{\Delta E/(kT)}-1}.
Vamos usar a definição de valor esperado para variável discreta e séries geométricas.

Passo 2

A energia média é
\bigl\langle E\bigr\rangle =\frac{\sum_{n=0}^{\infty}E_{n}\,f(E_{n})}{\sum_{n=0}^{\infty}f(E_{n})} =\frac{\sum_{n=0}^{\infty}n\,\Delta E\,e^{-n\Delta E/(kT)}}{\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n\Delta E/(kT)}}.
Para simplificar, definimos
\beta=\frac{1}{kT}, \quad x=e^{-\beta\,\Delta E}=e^{-\Delta E/(kT)}.

Passo 3

Calculamos as duas séries geométricas:
  1. Denominador:
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} =\frac{1}{1-x}.
  1. Numerador (usando \sum n x^{n}=x/(1-x)^{2}):
\sum_{n=0}^{\infty}n\,x^{n} =\frac{x}{(1-x)^{2}}.
Multiplicando pelo fator \Delta E, o numerador completo é
\Delta E\;\frac{x}{(1-x)^{2}}.

Passo 4

Substituindo em \bigl\langle E\bigr\rangle:
\bigl\langle E\bigr\rangle =\frac{\Delta E\,\dfrac{x}{(1-x)^{2}}} {\dfrac{1}{1-x}} =\Delta E\,\frac{x}{1-x} =\Delta E\,\frac{e^{-\Delta E/(kT)}}{1-e^{-\Delta E/(kT)}}.
Como
\frac{e^{-\Delta E/(kT)}}{1-e^{-\Delta E/(kT)}} =\frac{1}{e^{\Delta E/(kT)}-1},
chegamos ao resultado buscado.

Resposta

\bigl\langle E\bigr\rangle =\frac{\Delta E}{e^{\Delta E/(kT)}-1}.

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