Um fino disco possui massa \mathbf{M} e raio r.
Utilize a equação:
I_{C M}=\int r^{2} d m
para calcular o momento de inércia I_{C M} desse disco em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, perpendicular ao plano do disco.

Passo 1

O enunciado pede calcular o momento de inércia de um disco fino de massa M e raio r em relação a um eixo perpendicular ao disco que passa pelo seu centro de massa. O conteúdo necessário é integração em coordenadas polares, aplicando
I_{CM}=\int r^2\,dm.

Passo 2

Como o disco é uniforme, definimos a densidade de massa superficial \sigma como a razão entre a massa total e a área:
\sigma=\frac{M}{\pi r^2}.

Passo 3

Em coordenadas polares, um anel de raio \rho e espessura d\rho tem área
dA=2\pi\,\rho\,d\rho.
A massa desse anel é
dm=\sigma\,dA=\sigma\,2\pi\,\rho\,d\rho,
e seu momento de inércia elementar em relação ao eixo é
dI=\rho^2\,dm =\rho^2\bigl(\sigma\,2\pi\,\rho\,d\rho\bigr).

Passo 4

Integramos de \rho=0 até \rho=r:
I =\int_0^r \rho^2\bigl(\sigma\,2\pi\,\rho\,d\rho\bigr) =2\pi\sigma\int_0^r \rho^3\,d\rho =2\pi\sigma\frac{r^4}{4} =\frac{\pi\sigma\,r^4}{2}.

Passo 5

Substituindo \sigma=\dfrac{M}{\pi r^2} obtemos
I =\frac{\pi}{2}\frac{M}{\pi r^2}r^4 =\frac{1}{2}M\,r^2.

Resposta

I_{CM}=\frac{1}{2}M\,r^2.

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