Demonstre que a e b são inteiros com a b=1 então a=b= pm 1. [Sugestão: Pelas regras de sinais, temos que a e b são simultaneamente positivos ou negativos. Suponha primeiramente a>0 e b>0. Mostre que então a cdot(b-1) <= 0, de onde b <= 1. Sendo 0<b <= 1, tem-se então b=1 e então a=b=1. Trabalhe então no caso a<0 e b<0.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a e b são inteiros satisfazendo a b = 1, então necessariamente a = b = 1 ou a = b = -1. Vamos usar as regras de sinais e argumentos de desigualdade em inteiros.

Passo 2

Como a b = 1 > 0, os números a e b têm o mesmo sinal. Logo ou ambos são positivos ou ambos são negativos.

Passo 3

Caso a>0 e b>0: como a é inteiro e positivo, temos a>=1. Observe
a(b-1) = ab - a = 1 - a <= 0,
pois a>=1. Como a>0, da desigualdade acima segue b-1<=0, isto é, b<=1. Mas b>0 e inteiro implica b=1. Substituindo em ab=1 acdot1=1, ou seja a=1. Portanto, neste caso, a=b=1.

Passo 4

Caso a<0 e b<0: defina A = -a e B = -b. Então A,B>0 são inteiros e
A,B = (-a)(-b) = ab = 1
Pelo caso anterior (ambos positivos), segue A=B=1. Assim -a=1 e -b=1, ou seja a=b=-1.

Resposta

As únicas soluções inteiras de a b = 1 são
a=b=1 ou a=b=-1.

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