Demonstre que
e
são inteiros com
então
. [Sugestão: Pelas regras de sinais, temos que
e
são simultaneamente positivos ou negativos. Suponha primeiramente
e
. Mostre que então
, de onde
. Sendo
, tem-se então
e então
. Trabalhe então no caso
e
.]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
são inteiros satisfazendo
, então necessariamente
ou
. Vamos usar as regras de sinais e argumentos de desigualdade em inteiros.
Passo 2
Como
, os números
e
têm o mesmo sinal. Logo ou ambos são positivos ou ambos são negativos.
Passo 3
Caso
e
: como
é inteiro e positivo, temos
. Observe
pois
. Como
, da desigualdade acima segue
, isto é,
. Mas
e inteiro implica
. Substituindo em
dá
, ou seja
. Portanto, neste caso,
.
Passo 4
Caso
e
: defina
e
. Então
são inteiros e
Pelo caso anterior (ambos positivos), segue
. Assim
e
, ou seja
.
Resposta
As únicas soluções inteiras de
são
ou
.