Mostre (prove) que se
e
são inteiros, então
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer inteiros
e
, vale
O conteúdo que vamos usar é a definição de valor absoluto em
e uma análise por casos segundo os sinais de
e
. A definição é:
Passo 2
Considere o caso em que pelo menos um dos números é zero.
- Se
, entãom=0 e|m|=0 . Daímn=0
e
portanto
|m|cdot|n| = |mn| .
- O mesmo argumento vale se
.n=0
Passo 3
Agora suponha
mneq0 e
nneq0 . Dois inteiros não nulos podem ter o mesmo sinal ou sinais opostos.
Subcaso 3.1.
m e
n têm o mesmo sinal. Então
mn>0 , logo
Se
m>0 e
n>0 então
|m|=m e
|n|=n . Se
m<0 e
n<0 então
|m|=-m e
|n|=-n . Em ambos subcasos
logo
|m|cdot|n| = mn = |mn| .
Subcaso 3.2.
m e
n têm sinais opostos. Então
mn<0 e
Sem perda de generalidade, tome
m>0 e
n<0 . Aí
|m|=m e
|n|=-,n , de modo que
Resposta
Como verificamos todos os casos possíveis, concluímos que para quaisquer inteiros
m e
n vale