Mostre (prove) que se a e b são inteiros, então
|m| cdot|n|=|m n| ;

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer inteiros m e n, vale
|m|cdot|n| = |mn|
O conteúdo que vamos usar é a definição de valor absoluto em Z e uma análise por casos segundo os sinais de m e n. A definição é:
|x| = x & se x >= 0, -,x & se x < 0

Passo 2

Considere o caso em que pelo menos um dos números é zero.
  • Se m=0, então |m|=0 e mn=0. Daí
|m|cdot|n| = 0cdot|n| = 0
e
|mn| = |0| = 0,
portanto |m|cdot|n| = |mn|.
  • O mesmo argumento vale se n=0.

Passo 3

Agora suponha mneq0 e nneq0. Dois inteiros não nulos podem ter o mesmo sinal ou sinais opostos.
Subcaso 3.1. m e n têm o mesmo sinal. Então mn>0, logo
|mn| = mn
Se m>0 e n>0 então |m|=m e |n|=n. Se m<0 e n<0 então |m|=-m e |n|=-n. Em ambos subcasos
|m|cdot|n| = (pm m)cdot(pm n) = mn,
logo |m|cdot|n| = mn = |mn|.
Subcaso 3.2. m e n têm sinais opostos. Então mn<0 e
|mn| = -,mn
Sem perda de generalidade, tome m>0 e n<0. Aí |m|=m e |n|=-,n, de modo que
|m|cdot|n| = mcdot(-,n) = -,mn = |mn|

Resposta

Como verificamos todos os casos possíveis, concluímos que para quaisquer inteiros m e n vale
|m|cdot|n| = |mn|

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