Mostre (prove) que se a e b são inteiros, então
|m| <= n Leftrightarrow-n <= m <= n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros m e n, vale a equivalência
|m| <= n ;Long<=ftrightarrow;-n <= m <= n
O conteúdo principal envolve a definição de valor absoluto e propriedades de desigualdades em Z.

Passo 2

Prova de ,|m|<= nimplies -n<= m<= n.
Pela definição de valor absoluto sempre temos
-,|m|;<=;m;<=;|m|
Se além disso |m|<= n, então substituindo na cadeia de desigualdades obtemos
-,n;<=;-,|m|;<=;m;<=;|m|;<=;n,
que imediatamente dá
-,n<= m<= n

Passo 3

Prova de ,-n<= m<= nimplies |m|<= n.
Se -n<= m<= n, então em particular m<= n e, negando essa última, obtemos -m>= -n, isto é, -n<= -m. Portanto tanto m como -m são <= n. Pela definição
|m|=maxm,,-m,
segue que |m|<= n.

Resposta

Como mostramos, as duas implicações são válidas e, portanto,
|m|<= nLong<=ftrightarrow -n<= m<= n

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