Mostre (prove) que se
e
são inteiros, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros
e
, vale a equivalência
O conteúdo principal envolve a definição de valor absoluto e propriedades de desigualdades em
.
Passo 2
Prova de
.
Pela definição de valor absoluto sempre temos
Pela definição de valor absoluto sempre temos
Se além disso
, então substituindo na cadeia de desigualdades obtemos
que imediatamente dá
Passo 3
Prova de
.
Se , então em particular
e, negando essa última, obtemos
, isto é,
. Portanto tanto
como
são
. Pela definição
Se
segue que
.
Resposta
Como mostramos, as duas implicações são válidas e, portanto,