Demonstre:
A backslash B=A cap B^comp<=ment

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer conjuntos A e B,
A setminus B ;=; A cap B^comp<=ment
Aqui vamos usar a definição de diferença de conjuntos por extensão (elemento a elemento) e a definição de complemento.

Passo 2

Mostramos primeiro que
A setminus B subseteq A cap B^comp<=ment
Seja x um elemento arbitrário de A setminus B. Por definição de diferença de conjuntos, isso significa que
x in A e x notin B
Mas dizer x notin B equivale a x in B^comp<=ment. Logo
x in A e x in B^comp<=ment
o que, pela definição de interseção, implica
x in A cap B^comp<=ment
Assim todo xin Asetminus B também está em Acap B^comp<=ment, provando a inclusão desejada.

Passo 3

Agora mostramos que
A cap B^comp<=ment subseteq A setminus B
Seja y um elemento qualquer de A cap B^comp<=ment. Então, por definição de interseção,
y in A e y in B^comp<=ment
Mas y in B^comp<=ment é o mesmo que y notin B. Portanto
y in A e y notin B,
o que é exatamente a condição para yin Asetminus B. Logo y in Asetminus B, e obtemos a segunda inclusão.

Resposta

Como mostramos A setminus B subseteq A cap B^comp<=ment e A cap B^comp<=ment subseteq A setminus B, concluímos
A setminus B = A cap B^comp<=ment

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