Demonstre:
c) A backslash B=A se, somente se A cap B=varnothing

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência
Asetminus B = A Long<=ftrightarrow Acap B = varnothing
Aqui usaremos as definições de diferença e de interseção vazia:
Asetminus B = ,xmid xin A e xnotin B,
e
Acap B=varnothing
significa que não existe nenhum x tal que xin A e xin B.

Passo 2

(Provar Asetminus B = A implies Acap B=varnothing).
Suponha que Asetminus B = A. Se por absurdo existisse algum xin Acap B, então xin A e xin B. Mas Asetminus B=A implica xin Asetminus B, ou seja, xnotin B. Contradição. Portanto não há tal x, e segue que
Acap B=varnothing

Passo 3

(Provar Acap B=varnothing implies Asetminus B = A).
Suponha Acap B=varnothing. Para mostrar Asetminus B=A basta provar duas inclusões:
  1. Se xin Asetminus B então, por definição, xin A. Logo
Asetminus Bsubseteq A
  1. Se xin A, como Acap B=varnothing não temos xin B. Assim xin Asetminus B, e fica
Asubseteq Asetminus B
Dessas duas inclusões segue Asetminus B = A.

Resposta

Fica demonstrado que
Asetminus B = A se, e somente se Acap B = varnothing

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