Obtenha a forma das matrizes de ordem 2 que comutam com
Passo 1
O enunciado pede todas as matrizes 2×2 que comutam com
M=1 & -13 & 0
Isso é um problema de comutatividade de matrizes: precisamos usar multiplicação de matrizes e igualar os resultados para achar restrições nos elementos de A.
Passo 2
Suponha a matriz genérica
Queremos
para determinar condições sobre x,y,z,w.
Passo 3
Calculemos primeiro
e
Passo 4
Agora impomos igualdade de cada entrada de AM e MA, gerando o sistema:
(1,1): x+3y = x - z ⇒ z = -3y;
(1,2): -x = y - w ⇒ w = x + y;
(2,1) e (2,2) dão identidades já satisfeitas por essas escolhas.
Passo 5
Portanto a forma geral de A é
A=x & y-3y & x+y,
com x,y reais livres.
Passo 6
Alternativamente, note que o polinômio mínimo de M tem raízes distintas em C, então o centralizador é o conjunto de polinômios em M. Assim
A = aI + bM
também gera exatamente a mesma forma geral.
Resposta
A = x & y-3y & x+y, com x,y∈ℝ (ou equivalentemente A = aI + b1 & -13 & 0).