Demonstre que:
c_{P}-c_{v}=\frac{T v \beta^{2}}{\kappa}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
c_{P}-c_{v}=\frac{T\,v\,\beta^{2}}{\kappa}\,,
onde c_{P} e c_{v} são as capacidades térmicas a pressão e volume constantes, T é a temperatura, v o volume,
\beta o coeficiente de expansão isotérmica e \kappa a compressibilidade isoterma.
Para isso vamos usar as definições de c_{P} e c_{v}, a relação de Maxwell \bigl(\partial S/\partial V\bigr)_{T}=(\partial P/\partial T)_{V},
regra de cadeias em derivadas parciais e as definições de \beta e \kappa.

Passo 2

Pelas definições termodinâmicas de energia livre, gasta-se calor a pressão constante e a volume constante de forma que
c_{P} = T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{P} \quad\text{e}\quad c_{v} = T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{V}\,.
Logo
c_{P}-c_{v} = T\Bigl[ \Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{P} -\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{V} \Bigr].

Passo 3

Como S=S(T,V), em uma transformação isotérmica de pressão constante temos
dS =\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{V}dT +\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr)_{T}dV, \quad 0=dP =\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V}dT +\Bigl(\frac{\partial P}{\partial V}\Bigr)_{T}dV.
Da segunda igualdade dV/dT|_{P}=-\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V}/\bigl(\partial P/\partial V\bigr)_{T}.
Substituindo em dS/dT em pressão constante obtém-se
\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{P} =\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{V} -\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr)_{T} \frac{\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V}}{\bigl(\partial P/\partial V\bigr)_{T}}.
Portanto
c_{P}-c_{v} =-T\, \Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr)_{T} \frac{\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V}} {\bigl(\partial P/\partial V\bigr)_{T}}.

Passo 4

Aplicando a relação de Maxwell em transformações isotermais,
\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr)_{T} =\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V},
vem
c_{P}-c_{v} = -T\, \frac{\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V}^{2}} {\bigl(\partial P/\partial V\bigr)_{T}} = T\, \Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V} \Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}.

Passo 5

Definimos o coeficiente de expansão e a compressibilidade por
\beta =\frac{1}{v}\Bigl(\frac{\partial v}{\partial T}\Bigr)_{P}, \quad \kappa =-\frac{1}{v}\Bigl(\frac{\partial v}{\partial P}\Bigr)_{T}.
Usando a identidade
\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V} =-\frac{\bigl(\partial P/\partial V\bigr)_{T}}{\bigl(\partial V/\partial T\bigr)_{P}} =-\frac{1/(\partial V/\partial P)_{T}}{(\partial V/\partial T)_{P}} =\frac{\beta}{\kappa},
e também \bigl(\partial V/\partial T\bigr)_{P}=v\,\beta, temos

Passo 6

Substituindo em
c_{P}-c_{v} = T\, \Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V} \Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}
vem
c_{P}-c_{v} = T\,\frac{\beta}{\kappa}\,(v\,\beta) = \frac{T\,v\,\beta^{2}}{\kappa}.

Resposta

c_{P}-c_{v}=\frac{T\,v\,\beta^{2}}{\kappa}.

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