Demonstre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
onde
e
são as capacidades térmicas a pressão e volume constantes,
é a temperatura,
o volume,
o coeficiente de expansão isotérmica e
a compressibilidade isoterma.
Para isso vamos usar as definições de e
, a relação de Maxwell
,
regra de cadeias em derivadas parciais e as definições de e
.
Para isso vamos usar as definições de
regra de cadeias em derivadas parciais e as definições de
Passo 2
Pelas definições termodinâmicas de energia livre, gasta-se calor a pressão constante e a volume constante de forma que
Logo
Passo 3
Como
, em uma transformação isotérmica de pressão constante temos
Da segunda igualdade
.
Substituindo em em pressão constante obtém-se
Substituindo em
Portanto
Passo 4
Aplicando a relação de Maxwell em transformações isotermais,
vem
Passo 5
Definimos o coeficiente de expansão e a compressibilidade por
Usando a identidade
e também
, temos
Passo 6
Substituindo em
vem