(Valor: 1,0 pt.) Encontre o comportamento funcional do potencial elétrico ( V(x) ) em um barra condutora unidimensional, dadas as seguintes condições de contorno:
\begin{array}{ll} V(x)-\rightarrow & V\left(x_{2}\right)=+V_{0}(2) \\\ V\left(x_{1}\right)=-V_{0} & \end{array}

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico V(x) ao longo de uma barra unidimensional em regime estacionário, sem cargas no interior. As condições de contorno são
V(x_{1}) = -V_{0}, \qquad V(x_{2}) = +V_{0}.
O conteúdo necessário é a equação de Laplace unidimensional, que leva a uma solução afim (linear) em x.

Passo 2

Em ausência de densidade de carga volumétrica, V(x) satisfaz
\frac{d^{2}V}{dx^{2}} = 0.
Integrando uma vez, obtemos
\frac{dV}{dx} = A,
onde A é constante. Integrando de novo,
V(x) = A\,x + B,
com A e B constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 3

Aplicamos V(x_{1})=-V_{0} e V(x_{2})=+V_{0}:
A\,x_{1} + B = -V_{0}, \qquad A\,x_{2} + B = +V_{0}.
Subtraindo as duas igualdades,
A\,(x_{2}-x_{1}) = 2\,V_{0} \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{2\,V_{0}}{x_{2}-x_{1}}.
Em seguida, de A\,x_{1} + B = -V_{0} vem
B = -V_{0} - A\,x_{1} = -V_{0} - \frac{2\,V_{0}}{x_{2}-x_{1}}\,x_{1}.

Passo 4

Substituindo A e B em V(x)=A\,x+B,
V(x) = \frac{2\,V_{0}}{x_{2}-x_{1}}\,x \;-\;V_{0} \;-\;\frac{2\,V_{0}}{x_{2}-x_{1}}\,x_{1} = -V_{0} \;+\;\frac{2\,V_{0}}{x_{2}-x_{1}}\,(x - x_{1}).

Resposta

V(x) = -V_{0} \;+\;\frac{2\,V_{0}}{x_{2}-x_{1}}\,(x - x_{1}).

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