Demonstre que:
T d s=c_{v} d T+T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{v} d v

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade de termodinâmica
T\,ds = c_{v}\,dT + T\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{v}dv
Sabemos que vamos precisar da Primeira Lei e da definição de capacidade calorífica a volume constante, além de uma relação de Maxwell que conecta \partial U/\partial v a \partial P/\partial T.

Passo 2

A Primeira Lei para uma transformação infinitesimal de um sistema fechado é
dU = \delta Q - \delta W.
Em forma diferencial de variáveis de estado e usando \delta Q = T\,ds e \delta W = P\,dv, obtemos
dU = T\,ds - P\,dv.

Passo 3

Isolando T\,ds da expressão acima, ficamos com
T\,ds = dU + P\,dv.

Passo 4

Como a energia interna U é função de T e v, seu diferencial total é
dU = \Bigl(\frac{\partial U}{\partial T}\Bigr)_{v}dT \;+\;\Bigl(\frac{\partial U}{\partial v}\Bigr)_{T}dv.

Passo 5

Substituindo este dU em T\,ds = dU + P\,dv, obtemos
T\,ds = \Bigl(\frac{\partial U}{\partial T}\Bigr)_{v}dT \;+\;\Bigl[\Bigl(\frac{\partial U}{\partial v}\Bigr)_{T} + P\Bigr]dv.

Passo 6

Reconhecemos duas coisas:
  1. A capacidade calorífica a volume constante é
c_{v} = \Bigl(\frac{\partial U}{\partial T}\Bigr)_{v}.
  1. A relação de Maxwell que resulta de F=U-TS
\Bigl(\frac{\partial U}{\partial v}\Bigr)_{T} = T\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{v} - P.

Passo 7

Substituindo esses dois resultados na expressão de T\,ds, temos
T\,ds = c_{v}\,dT + \bigl[T(\tfrac{\partial P}{\partial T})_{v}-P + P\bigr]dv = c_{v}\,dT + T\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{v}dv.

Resposta

T\,ds = c_{v}\,dT + T\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{v}dv.

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