Identifique a distribuição da variável aleatória X quando sua função geradora de momentos (fgm) é dada por
M_{X}(t)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3} e^{t}
Forneça o nome da distribuição e os parâmetros.

Passo 1

O enunciado nos dá a função geradora de momentos (fgm) de X:
M_{X}(t) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\,e^{t}.
A tarefa é identificar a que distribuição corresponde essa fgm e quais são seus parâmetros.

Passo 2

Lembrando que, para uma variável aleatória discreta que assume valores em \{0,1\}, a fgm de uma Bernoulli de parâmetro p é
M(t) = E[e^{tX}] = (1-p)\,e^{t\cdot 0} + p\,e^{t\cdot 1} = 1-p + p\,e^{t}.
Comparando com a fgm dada, temos
1-p = \tfrac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad p = 1 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}.

Passo 3

Portanto, X tem a distribuição de Bernoulli com parâmetro
p = \tfrac{2}{3},
isto é,
P(X=1) = \tfrac{2}{3}, \quad P(X=0) = \tfrac{1}{3}.

Resposta

X \sim \mathrm{Bernoulli}(p=\tfrac{2}{3}) (ou equivalentemente \mathrm{Binomial}(n=1,p=\tfrac{2}{3})).

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