Identifique a distribuição da variável aleatória X quando sua função geradora de momentos (fgm) é dada por
M_{X}(t)=\left(0,3+0,7 e^{t}\right)^{5}
Forneça o nome da distribuição e os parâmetros.

Passo 1

O enunciado nos dá a função geradora de momentos de uma variável aleatória X:
M_{X}(t)=\bigl(0,3+0,7\,e^{t}\bigr)^{5}.
Queremos identificar a que distribuição corresponde essa fgm e quais são seus parâmetros.

Passo 2

Lembramos que, se X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p, ou seja X\sim \mathrm{Binomial}(n,p), sua fgm é
M_{X}(t) \;=\;(1-p + p\,e^{t})^{n}.
Isso decorre do fato de que X é soma de n variáveis de Bernoulli independentes de parâmetro p, cuja fgm é 1-p + p\,e^{t}.

Passo 3

Basta comparar
\bigl(0,3+0,7\,e^{t}\bigr)^{5} \quad\text{com}\quad (1-p + p\,e^{t})^{n}.
Vemos que 1-p=0,3, p=0,7 e n=5. Logo
X\sim \mathrm{Binomial}(n=5,\;p=0,7).

Resposta

X segue distribuição binomial com parâmetros n=5 e p=0,7.

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