A função indicada y1(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem ou a formula (5), conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução y2(x).
6 y^prime prime+y^prime-y=0 ; y1=e^x / 3

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear homogênea de 2ª ordem
6y''+y'-y=0
e já conhecemos uma solução y1(x)=e^x/3.
O conteúdo aqui é redução de ordem: vamos usar a fórmula
y2=y1integrale^-integral p,dxy1^2,dx
onde, após dividir a EDO por 6, p é o coeficiente de y'.

Passo 2

Dividindo a equação por 6, obtemos
y''+16y'-16y=0,
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p=16

Passo 3

Calculamos o fator
e^-integral p,dx =e^-integral tfrac16,dx =e^-x/6,
e a fórmula vira
y2 =e^x/3integrale^-x/6l(e^x/3r)^2,dx

Passo 4

No integrando:
e^-x/6e^2x/3 =e^-x/6-2x/3 =e^-5x/6,
então
integral e^-5x/6,dx =-65e^-5x/6
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y2 =e^x/3l(-tfrac65e^-5x/6r) =-tfrac65e^-x/2
Como a constante não importa, escolhemos
y2(x)=e^-x/2

Resposta

y2(x)=e^-x/2

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