Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, para identificar os pontos críticos onde esses valores podem ocorrer.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. Essa é uma função polinomial composta, onde elevamos
ao cubo. Nosso objetivo é encontrar os valores máximos e mínimos que essa função atinge no intervalo de
entre 0 e 2.
Passo 3
Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos em um intervalo fechado, precisamos seguir alguns passos:
- Encontrar os valores da função nas extremidades do intervalo: Ou seja, calcular
e . - Encontrar os pontos críticos dentro do intervalo: Esses são os valores de
onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. - Calcular os valores da função nesses pontos críticos.
- Comparar todos esses valores para determinar qual é o máximo e qual é o mínimo.
Passo 4
Vamos começar encontrando os valores da função nas extremidades do intervalo.
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos calcular a derivada da função
e encontrar onde ela é igual a zero.
Primeiro, vamos encontrar
:
Para derivar, usamos a regra da cadeia:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso nos dá:
Resolvendo:
Dentro do intervalo [0, 2], os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Já calculamos
. Agora, vamos calcular
:
Passo 7
Agora temos os seguintes valores:
Comparando esses valores, identificamos:
- O mínimo absoluto é
em . - O máximo absoluto é
em .
Resposta
O valor mínimo absoluto de
no intervalo
é
em
, e o valor máximo absoluto é
em
.