Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado:
g(x)=(x^2-1)^3 e[0,2]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função g(x) = (x^2 - 1)^3 no intervalo [0, 2]. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, para identificar os pontos críticos onde esses valores podem ocorrer.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: g(x) = (x^2 - 1)^3 . Essa é uma função polinomial composta, onde elevamos x^2 - 1 ao cubo. Nosso objetivo é encontrar os valores máximos e mínimos que essa função atinge no intervalo de x entre 0 e 2.

Passo 3

Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos em um intervalo fechado, precisamos seguir alguns passos:
  1. Encontrar os valores da função nas extremidades do intervalo: Ou seja, calcular g(0) e g(2) .
  2. Encontrar os pontos críticos dentro do intervalo: Esses são os valores de x onde a derivada da função g'(x) é igual a zero ou não existe.
  3. Calcular os valores da função nesses pontos críticos.
  4. Comparar todos esses valores para determinar qual é o máximo e qual é o mínimo.

Passo 4

Vamos começar encontrando os valores da função nas extremidades do intervalo.
  • Para x = 0 :
g(0) = (0^2 - 1)^3 = (-1)^3 = -1
  • Para x = 2 :
g(2) = (2^2 - 1)^3 = (4 - 1)^3 = 3^3 = 27

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos calcular a derivada da função g(x) e encontrar onde ela é igual a zero.
Primeiro, vamos encontrar g'(x) :
g(x) = (x^2 - 1)^3
Para derivar, usamos a regra da cadeia:
g'(x) = 3(x^2 - 1)^2 cdot 2x = 6x(x^2 - 1)^2
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
6x(x^2 - 1)^2 = 0
Isso nos dá:
6x = 0 ou (x^2 - 1)^2 = 0
Resolvendo:
x = 0 ou x^2 - 1 = 0 Rightarrow x = pm 1
Dentro do intervalo [0, 2], os pontos críticos são x = 0 e x = 1 .

Passo 6

Já calculamos g(0) = -1 . Agora, vamos calcular g(1) :
g(1) = (1^2 - 1)^3 = (1 - 1)^3 = 0^3 = 0

Passo 7

Agora temos os seguintes valores:
  • g(0) = -1
  • g(1) = 0
  • g(2) = 27
Comparando esses valores, identificamos:
  • O mínimo absoluto é -1 em x = 0 .
  • O máximo absoluto é 27 em x = 2 .

Resposta

O valor mínimo absoluto de g(x) no intervalo [0, 2] é -1 em x = 0 , e o valor máximo absoluto é 27 em x = 2 .

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