Demonstre que cada uma das igualdades abaixo é identidade no respectivo universo U.
\operatorname{tg}^{2} x-\operatorname{sen}^{2} x=\operatorname{tg}^{2} x \cdot \operatorname{sen}^{2} x, em U=\{x \in \mathbb{R} \mid \cos x \neq 0\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo x com \cos x\neq0, vale a igualdade
\tan^{2}x - \sin^{2}x = \tan^{2}x \,\sin^{2}x.
O conteúdo usado será: expressão de \tan x em termos de \sin x e \cos x e a identidade pitagórica \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1.

Passo 2

Escrevemos \tan^{2}x como \sin^{2}x/\cos^{2}x e substituímos na expressão à esquerda:
\tan^{2}x - \sin^{2}x = \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} - \sin^{2}x.

Passo 3

Colocamos em evidência \sin^{2}x e escrevemos tudo sobre o mesmo denominador \cos^{2}x:
\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} - \sin^{2}x = \sin^{2}x\Bigl(\frac{1}{\cos^{2}x} - 1\Bigr) = \sin^{2}x\;\frac{1 - \cos^{2}x}{\cos^{2}x}.

Passo 4

Aplicamos a identidade pitagórica 1 - \cos^{2}x = \sin^{2}x:
\sin^{2}x\;\frac{1 - \cos^{2}x}{\cos^{2}x} = \sin^{2}x\;\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}.

Passo 5

Reconhecemos \sin^{2}x/\cos^{2}x = \tan^{2}x, obtendo
\sin^{2}x\;\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \tan^{2}x \,\sin^{2}x,
que coincide exatamente com o lado direito da igualdade.

Resposta

A igualdade \tan^{2}x - \sin^{2}x = \tan^{2}x \,\sin^{2}x é, portanto, uma identidade válida em U=\{x\in\mathbb{R}\mid\cos x\neq0\}.

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