Demonstre que cada sequência é limitada superiormente (ou inferiormente) e monótona não-decrescente (ou não-crescente) e conclua que é convergente:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
é limitada e monótona (não crescente ou não decrescente) e, a partir disso, concluir que ela converge. Vamos usar o fato de que toda sequência monotônica e limitada é convergente (teorema da convergência de Cauchy para sequências ou teorema da convergência monotônica).
Passo 2
Mostrando que
é limitada superiormente e inferiormente.
Para todo vale
Para todo
logo
é limitada inferiormente por
.
Além disso, para temos
Além disso, para
de modo que
é limitada superiormente por
.
Passo 3
Mostrando que
é monótona não crescente.
Compare com
:
Compare
Como
segue
ou seja,
para todo
. Logo a sequência é estritamente decrescente, e portanto não crescente.
Passo 4
Concluindo a convergência.
Pelo teorema da convergência monotônica, toda sequência não crescente (monótona decrescente) e limitada inferiormente converge. Logo converge.
Para encontrar o limite, basta observar que
Pelo teorema da convergência monotônica, toda sequência não crescente (monótona decrescente) e limitada inferiormente converge. Logo
Para encontrar o limite, basta observar que
Resposta
A sequência
é limitada (por
e
) e monótona não crescente, logo converge, e seu limite é
.