Demonstre que cada sequência é limitada superiormente (ou inferiormente) e monótona não-decrescente (ou não-crescente) e conclua que é convergente:
an=4n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
an = 4n
é limitada e monótona (não crescente ou não decrescente) e, a partir disso, concluir que ela converge. Vamos usar o fato de que toda sequência monotônica e limitada é convergente (teorema da convergência de Cauchy para sequências ou teorema da convergência monotônica).

Passo 2

Mostrando que an é limitada superiormente e inferiormente.
Para todo ninN vale
an = 4n > 0,
logo an é limitada inferiormente por 0.
Além disso, para n>=1 temos
an = 4n <= 41 = 4,
de modo que an é limitada superiormente por 4.

Passo 3

Mostrando que an é monótona não crescente.
Compare an+1 com an:
an+1 = 4n+1 e an = 4n
Como n+1>n>0 segue
4n+1 < 4n,
ou seja, an+1 < an para todo n. Logo a sequência é estritamente decrescente, e portanto não crescente.

Passo 4

Concluindo a convergência.
Pelo teorema da convergência monotônica, toda sequência não crescente (monótona decrescente) e limitada inferiormente converge. Logo an converge.
Para encontrar o limite, basta observar que
limntoinfty 4n = 0

Resposta

A sequência an=4n é limitada (por 0 e 4) e monótona não crescente, logo converge, e seu limite é 0.

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