a) Mostre que o potencial elétrico a uma distância r de uma carga pontual q é V= (1 / 4 pi varepsilon0) q / r.
b) Um ponto P está localizado a uma distância r de uma carga pontual q=2 mu C. Calcule o potencial elétrico no ponto P , sabendo que r=3 m.

Passo 1

O enunciado trata do potencial elétrico gerado por uma carga pontual e pede:
– Em (a), mostrar que
V(r)=14pivarepsilon0;qr
– Em (b), calcular numericamente V a r=3rm;m para q=2,murm C.
Para isso vamos usar a lei de Gauss (para obter o campo) e a definição de diferença de potencial elétrico.

Passo 2

Pela lei de Gauss, o campo elétrico de uma carga pontual q é radial e tem módulo
E(r)=14pivarepsilon0;qr^2
Este resultado vem de impor que o fluxo de E através de uma esfera de raio r seja q/varepsilon0.

Passo 3

A definição de potencial absoluto, escolhendo V(infty)=0, é
V(r)-V(infty)=-integralinfty^rEcdot dr'
Como E é radial e aponta em hat r, temos
V(r)=-integralinfty^rE(r'),dr' =-integralinfty^r14pivarepsilon0;qr'^2,dr'

Passo 4

Calculando a integral:
-integralinfty^rq4pivarepsilon0,r'^2,dr' =-q4pivarepsilon0gl[-1r'gr]infty^r =q4pivarepsilon0;1r
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V(r)=14pivarepsilon0;qr,
que resolve a parte (a).

Passo 5

Para a parte (b), usamos
V(r)=14pivarepsilon0;qr,
com q=2times10^-6rm;C, r=3rm;m e 1/(4pivarepsilon0)approx9,0times10^9rm;N,m^2/C^2.

Passo 6

Substituindo:
V(3rm;m) =9,0times10^9;2times10^-63 =6,0times10^3rm;V

Resposta

(a) V(r)=14pivarepsilon0;qr
(b) V(3rm;m)=6,0times10^3rm;V

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