Demonstre a compatibilidade da relação de ordem com as operações em \mathbb{N}.
Se a \leq b \Rightarrow a+c \leq b+c (compatibilidade da adição)

Passo 1

O enunciado pede que eu demonstre a compatibilidade da ordem com a adição em \mathbb{N}: provar que, para quaisquer a,b,c\in\mathbb{N},
a \leq b \Rightarrow a+c \leq b+c.
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vou usar:
\;a,b,c\in\mathbb{N}.
A relação \leq em \mathbb{N} será entendida na forma usual (existência de um somador).
A adição em \mathbb{N} é fechada em \mathbb{N} e satisfaz associatividade e comutatividade (propriedades básicas de soma em \mathbb{N}).

Passo 2

Definição útil (que vou usar e explicar): para x,y\in\mathbb{N} definimos
x \le y \quad\text{se, e somente se,}\quad \exists d\in\mathbb{N}\text{ tal que }x+d=y.
Explicação didática: essa definição diz que x é menor ou igual a y quando posso somar algum número natural d a x e obter y. Por exemplo, 3\le5 porque existe d=2 com 3+2=5. Essa é a definição padrão da ordem em \mathbb{N} construída a partir da adição.

Passo 3

Vou traduzir o que significa provar a compatibilidade: queremos mostrar que, se existe d\in\mathbb{N} com a+d=b, então existe algum e\in\mathbb{N} com (a+c)+e=b+c. Pelo item anterior, isso equivale exatamente a mostrar a+c\le b+c.

Passo 4

Começo a prova propriamente dita. Suponha a\le b. Pela definição do passo 2, existe d\in\mathbb{N} tal que
a+d=b.
Agora somo c aos dois lados dessa igualdade. Como a adição é uma operação bem-definida em \mathbb{N} e preserva igualdade, temos
(a+d)+c = b+c.

Passo 5

Reescrevo o lado esquerdo usando associatividade e comutatividade da soma para colocar c junto de a. Detalhando as transformações:
(a+d)+c = a+(d+c)\quad\text{(associatividade)},
a+(d+c)=a+(c+d)\quad\text{(comutatividade de \(d\) e \(c\))},
a+(c+d)=(a+c)+d\quad\text{(associatividade novamente)}.
Portanto chegamos a
(a+c)+d = b+c.

Passo 6

Interpretando o resultado do passo anterior: encontramos explicitamente d\in\mathbb{N} tal que (a+c)+d=b+c. Pela definição de \le (passo 2), isso quer dizer exatamente que
a+c \le b+c.
Assim demonstramos a implicação desejada.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar a ideia (só para entendimento): tome a=3, b=5, c=2. Como 3+2=5, temos 3\le5. Pelo que provamos, 3+2\le5+2. De fato (3+2)+2=7=5+2, logo existe o somador d=2 que faz (a+c)+d=b+c.

Resposta

\text{Se }a\le b\text{ então }a+c\le b+c.ã

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