Demonstre a compatibilidade da relação de ordem com as operações em
.
Se
(compatibilidade da adição)
Se
Passo 1
O enunciado pede que eu demonstre a compatibilidade da ordem com a adição em
: provar que, para quaisquer
,
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vou usar:
A relação em
será entendida na forma usual (existência de um somador).
A adição em é fechada em
e satisfaz associatividade e comutatividade (propriedades básicas de soma em
).
A relação
A adição em
Passo 2
Definição útil (que vou usar e explicar): para
definimos
Explicação didática: essa definição diz que
é menor ou igual a
quando posso somar algum número natural
a
e obter
. Por exemplo,
porque existe
com
. Essa é a definição padrão da ordem em
construída a partir da adição.
Passo 3
Vou traduzir o que significa provar a compatibilidade: queremos mostrar que, se existe
com
, então existe algum
com
. Pelo item anterior, isso equivale exatamente a mostrar
.
Passo 4
Começo a prova propriamente dita. Suponha
. Pela definição do passo 2, existe
tal que
Agora somo
aos dois lados dessa igualdade. Como a adição é uma operação bem-definida em
e preserva igualdade, temos
Passo 5
Reescrevo o lado esquerdo usando associatividade e comutatividade da soma para colocar
junto de
. Detalhando as transformações:
Portanto chegamos a
Passo 6
Interpretando o resultado do passo anterior: encontramos explicitamente
tal que
. Pela definição de
(passo 2), isso quer dizer exatamente que
Assim demonstramos a implicação desejada.
Passo 7
Exemplo numérico para fixar a ideia (só para entendimento): tome
,
,
. Como
, temos
. Pelo que provamos,
. De fato
, logo existe o somador
que faz
.