Prove os seguintes teoremas:
Teorema 2: (Lei do cancelamento da multiplicação) Sejam
, tais que
. Então
Teorema 2: (Lei do cancelamento da multiplicação) Sejam
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
com
e a igualdade
. A pergunta é clara: mostrar que, sob essas hipóteses, necessariamente
. Vou usar apenas as propriedades básicas dos números naturais (fechamento da soma e multiplicação, propriedade distributiva, e que produto de naturais estritamente positivos é estritamente positivo).
Estratégia (curta e didática): provar por contradição. Ou seja, suponho que e mostro que isso leva a uma contradição com
e
. Como
, existem exatamente duas possibilidades:
ou
. Vou tratar cada caso e em ambos obter uma impossibilidade, provando que a hipótese
é falsa e, portanto,
.
Estratégia (curta e didática): provar por contradição. Ou seja, suponho que
Passo 2
Propriedades que vou usar e explicar rapidinho:
- Distributividade: para quaisquer naturais
vale sempre que (isto é, quando a subtração está bem definida em ). Isso vem da distributividade e rearranjando. - Produto de naturais estritamente positivos é estritamente positivo: se
e então . Em particular, se e (lembrando que em “≠0” significa “positivo”), então . - Se um produto de naturais é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Em símbolos: se
então ou .
Vou aplicar essas propriedades nos dois casos.
Passo 3
Caso 1: suponha
. Então a subtração
está bem definida e
com
. Multiplicando essa diferença por
e usando a distributividade temos a identidade
Como o enunciado dá
, substituindo nesta equação obtemos
Agora, pelo fato de que
e
(ou seja,
), o produto
é estritamente positivo, por (2). Logo
, o que contradiz
. Portanto a hipótese
é impossível.
Passo 4
Caso 2: suponha
. De maneira análoga ao caso anterior, defina
com
. Pela distributividade temos
Usando
novamente, segue
Mas como
e
, temos
, contradizendo
. Logo a hipótese
também é impossível.
Passo 5
Tendo mostrado que nem
nem
são possíveis, a única alternativa que resta é
. Isso conclui a prova.