Demonstre a compatibilidade da relação de ordem com as operações em \mathbb{N}.
Se a \leq b \Rightarrow a c \leq b c \quad (compatibilidade da multiplicação)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a ordem em \mathbb{N} é compatível com a multiplicação: isto é, dado \;a,b,c\in\mathbb{N}\; com \;a\le b\;, provar que \;ac\le bc\;.
Informações/relações relevantes que usaremos (todas sobre \mathbb{N}):
  • Definição de ordem: \;a\le b\; significa que existe \;d\in\mathbb{N}\; tal que \;a+d=b\;.
  • A multiplicação é a adição iterada (intuitivamente, \;xy\; é a soma de x cópias de y ou de y cópias de x, conforme definição adotada).
  • Distributividade da multiplicação sobre a adição: \;(x+y)z=xz+yz\; (pode ser vista diretamente pela ideia de soma de cópias).
    Não farei nenhuma suposição extra sem justificar quando usada.

Passo 2

Começo aplicando a definição de ordem ao hipóteses \;a\le b\;. Pela definição, existe \;d\in\mathbb{N}\; tal que
b = a + d.
Aqui \;d\; é a “diferença” natural entre b e a. Exemplo concreto para fixar a ideia: se \;a=3 e \;b=7 então \;d=4 porque \;3+4=7.

Passo 3

Multiplico a igualdade \;b=a+d\; pela mesma \;c\in\mathbb{N}\;. Usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição obtemos, como igualdade em \mathbb{N},
bc = (a+d)c = ac + dc.
Explicando essa passagem de forma bem concreta: multiplicar por \;c\; significa somar (a+d) por si mesmo \;c vezes; essa soma de \;c cópias de (a+d) é exatamente a soma de \;c cópias de a mais \;c cópias de d, i.e. ac+dc.

Passo 4

Agora uso a definição de ordem novamente, mas na forma direta: dizer que x\le y equivale a existir k\in\mathbb{N} com x+k=y. Na igualdade obtida em \;Passo\\\ 3,
bc = ac + dc,
podemos tomar k = dc. Como dc\in\mathbb{N}, temos exatamente ac + k = bc. Portanto, pela definição de ordem,
ac \le bc.
Esta linha é o núcleo do argumento: escrevemos bc como ac mais um natural ( dc), o que mostra que ac é menor ou igual a bc.

Passo 5

Comentário final e verificação de casos especiais: o argumento funciona para qualquer \;c\in\mathbb{N}\;, inclusive \;c=0\; (pois então ac=0=bc e a igualdade \;bc=ac+dc\; continua válida com dc=0 quando b=a). Não precisamos de passos adicionais nem de indução aqui porque a distributividade e a definição de ordem já fecham a prova de forma direta.

Resposta

\;ac\le bc\;

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