Demonstre a compatibilidade da relação de ordem com as operações em
.
Se
(compatibilidade da multiplicação)
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a ordem em
é compatível com a multiplicação: isto é, dado
com
, provar que
.
Informações/relações relevantes que usaremos (todas sobre ):
Informações/relações relevantes que usaremos (todas sobre
- Definição de ordem:
significa que existe tal que . - A multiplicação é a adição iterada (intuitivamente,
é a soma de cópias de ou de cópias de , conforme definição adotada). - Distributividade da multiplicação sobre a adição:
(pode ser vista diretamente pela ideia de soma de cópias).
Não farei nenhuma suposição extra sem justificar quando usada.
Passo 2
Começo aplicando a definição de ordem ao hipóteses
. Pela definição, existe
tal que
Aqui
é a “diferença” natural entre
e
. Exemplo concreto para fixar a ideia: se
e
então
porque
.
Passo 3
Multiplico a igualdade
pela mesma
. Usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição obtemos, como igualdade em
,
Explicando essa passagem de forma bem concreta: multiplicar por
significa somar
por si mesmo
vezes; essa soma de
cópias de
é exatamente a soma de
cópias de
mais
cópias de
, i.e.
.
Passo 4
Agora uso a definição de ordem novamente, mas na forma direta: dizer que
equivale a existir
com
. Na igualdade obtida em
,
podemos tomar
. Como
, temos exatamente
. Portanto, pela definição de ordem,
Esta linha é o núcleo do argumento: escrevemos
como
mais um natural (
), o que mostra que
é menor ou igual a
.
Passo 5
Comentário final e verificação de casos especiais: o argumento funciona para qualquer
, inclusive
(pois então
e a igualdade
continua válida com
quando
). Não precisamos de passos adicionais nem de indução aqui porque a distributividade e a definição de ordem já fecham a prova de forma direta.