Demonstre a continuidade da função f(x)=cos x usando a definição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função f(x) = cos x é contínua usando a definição de continuidade. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e usar um pouco de teoria sobre limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de continuidade. Uma função f é contínua em um ponto c se o limite de f(x) quando x se aproxima de c for igual a f(c) . Em outras palavras:
limx to c f(x) = f(c)
Isso significa que não tem nenhum “salto” ou “buraco” na função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função f(x) = cos x . Queremos mostrar que para qualquer ponto c , temos:
limx to c cos x = cos c
Se conseguirmos provar isso, mostramos que cos x é contínua em todo ponto c .

Passo 4

Sabemos que a função cosseno é uma função trigonométrica bem comportada, que não tem interrupções no seu gráfico. Além disso, funções trigonométricas como o cosseno são contínuas por definição, porque elas não têm saltos ou assíntotas.
Matematicamente, podemos usar a propriedade que para funções contínuas, o limite quando x se aproxima de c é simplesmente o valor da função em c . Então:
limx to c cos x = cos c
Isso confirma que a função cosseno atende à definição de continuidade em qualquer ponto c .

Resposta

Portanto, demonstramos que a função f(x) = cos x é contínua em todos os pontos c do seu domínio, utilizando a definição de continuidade.

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