Demonstre a continuidade da função
usando a definição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função
é contínua usando a definição de continuidade. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e usar um pouco de teoria sobre limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
. Em outras palavras:
Isso significa que não tem nenhum “salto” ou “buraco” na função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Queremos mostrar que para qualquer ponto
, temos:
Se conseguirmos provar isso, mostramos que
é contínua em todo ponto
.
Passo 4
Sabemos que a função cosseno é uma função trigonométrica bem comportada, que não tem interrupções no seu gráfico. Além disso, funções trigonométricas como o cosseno são contínuas por definição, porque elas não têm saltos ou assíntotas.
Matematicamente, podemos usar a propriedade que para funções contínuas, o limite quando
se aproxima de
é simplesmente o valor da função em
. Então:
Isso confirma que a função cosseno atende à definição de continuidade em qualquer ponto
.
Resposta
Portanto, demonstramos que a função
é contínua em todos os pontos
do seu domínio, utilizando a definição de continuidade.