Uma quantidade que cresce de acordo coma lei Q(t)=Q0 e^k t, Q0, k>0 é dita que experimenta um crescimento exponencial com valor inicial Q(0)=Q0.
Projeta-se que em t anos, a população de um estado será de P(t)=10 e^0.02 t milhões de habitantes. Qual é a população atual? Qual será a população em 20 anos, se a população continuar crescendo nesta proporção?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma função que descreve o crescimento da população de um estado ao longo do tempo: P(t) = 10 cdot e^0.02t , onde P(t) é a população em milhões de habitantes após t anos. O conteúdo envolvido aqui é crescimento exponencial, que é usado para modelar situações onde uma quantidade cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho atual. Para resolver esse exercício, precisamos entender como aplicar a fórmula do crescimento exponencial para encontrar a população atual e a população futura após 20 anos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a população atual, ou seja, quando t = 0 . Substituímos t por 0 na equação:
P(0) = 10 cdot e^0.02 cdot 0
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:
P(0) = 10 cdot 1 = 10
Portanto, a população atual é de 10 milhões de habitantes.

Passo 3

Agora, vamos calcular a população em 20 anos. Para isso, substituímos t por 20 na equação:
P(20) = 10 cdot e^0.02 cdot 20
Primeiro, multiplicamos 0.02 por 20:
0.02 cdot 20 = 0.4
Então, a equação fica:
P(20) = 10 cdot e^0.4

Passo 4

Precisamos calcular e^0.4 . O valor de e^0.4 é aproximadamente 1.4918. Então:
P(20) = 10 cdot 1.4918 = 14.918
Arredondando para duas casas decimais, temos:
P(20) approx 14.92

Resposta

A população atual é de 10 milhões de habitantes e, se continuar crescendo nessa proporção, em 20 anos será de aproximadamente 14,92 milhões de habitantes.

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