Demonstre que:
A série converge uniformemente em todo o intervalo de convergência
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série de funções
converge uniformemente em todo o seu intervalo de convergência. O conteúdo aqui é o teste de Abel (ou Dirichlet) para séries de funções: basta reescrever a soma como com monotônica tendendo a zero e as somas parciais de uniformemente limitadas.
Passo 2
Identificamos
Note que , é monotônica decrescente e . Vamos agora verificar que as somas parciais
são uniformemente limitadas em .
Passo 3
Como é uma progressão geométrica de primeiro termo e razão , obtemos
Para todo temos , logo
Portanto as somas parciais AN(x) estão limitadas por 1, independentemente de N e de x.
Passo 4
Pelo teste de Abel para séries de funções, como (bn) é decrescente a 0 e AN(x) é uniformemente limitada, concluímos que
sumn=1^inftyan(x),bn
converge uniformemente em [-1,1].
Resposta
A série
sumn=1^infty(-1)^,n-1,x^2nn
converge uniformemente em todo o seu intervalo de convergência [-1,1].