Demonstre que:
A série x^21-x^42+x^63-x^84+ldots converge uniformemente em todo o intervalo de convergência

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série de funções
sumn=1^infty(-1)^,n-1,x^2nn
converge uniformemente em todo o seu intervalo de convergência. O conteúdo aqui é o teste de Abel (ou Dirichlet) para séries de funções: basta reescrever a soma como sum bn,an(x) com (bn) monotônica tendendo a zero e as somas parciais de (an(x)) uniformemente limitadas.

Passo 2

Identificamos
an(x)=(-1)^,n-1x^2n, bn=1n
Note que bn>0, é monotônica decrescente e limntoinftybn=0. Vamos agora verificar que as somas parciais
AN(x)=sumk=1^N ak(x)
são uniformemente limitadas em xin[-1,1].

Passo 3

Como ak(x) é uma progressão geométrica de primeiro termo x^2 e razão -x^2, obtemos
AN(x) =sumk=1^N(-1)^k-1x^2k =x^2;1-(-x^2)^N1+ x^2
Para todo xin[-1,1] temos lvert(-x^2)^Nrvert<=1, logo
llvert AN(x)rrvert <= lvert x^2rvert,(1+1)1+x^2 =2x^21+x^2 <=1
Portanto as somas parciais AN(x) estão limitadas por 1, independentemente de N e de x.

Passo 4

Pelo teste de Abel para séries de funções, como (bn) é decrescente a 0 e AN(x) é uniformemente limitada, concluímos que
sumn=1^inftyan(x),bn
converge uniformemente em [-1,1].

Resposta

A série
sumn=1^infty(-1)^,n-1,x^2nn
converge uniformemente em todo o seu intervalo de convergência [-1,1].

Exercícios relacionados