Demonstre detalhadamente que o campo elétrico produzido por um anel de cargas positivas distribuídas uniformemente é dado por:
onde p é o módulo do dipolo, x é a distância até o centro do dipolo e
é uma constante.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações estão dadas.
- O enunciado pede: demonstrar detalhadamente a expressão do campo elétrico produzido por um anel carregado uniformemente, no ponto sobre o eixo do anel a uma distância
do centro, obtendo
- Dados e informações fornecidas:
- O anel tem raio
. - A carga total distribuída uniformemente ao longo do anel é
. - O ponto onde se deseja o campo está sobre o eixo do anel, à distância
do centro do anel (no centro do anel o eixo é perpendicular ao plano do anel). - A densidade linear de carga é indicada implicitamente pela relação
. - A expressão elemental da intensidade do campo de um elemento de carga é dada por
.
- O anel tem raio
- Observação sobre notação: o enunciado menciona
como “módulo do dipolo” em algum lugar, mas a fórmula a demonstrar usa . Vou usar como a carga total do anel (essa é a notação usual para este problema).
Passo 2
Entender a simetria e o que contribui para o campo. Explicação conceitual:
- Cada pedaço de carga
produz um campo elétrico no ponto de interesse, segundo a Lei de Coulomb. A direção de é radial, apontando do elemento de carga para o ponto. - Pelo anel ser circular e a distribuição ser uniforme, para cada elemento
existe um elemento oposto no anel que tem componente do campo lateral (perpendicular ao eixo) de mesma magnitude e sentido oposto; portanto, todas as componentes transversais (radiais no plano do anel) se cancelam por simetria. - Logo, apenas a componente ao longo do eixo do anel (vamos chamar de direção
) permanece após integrar todo o anel. Isso simplifica muito: só precisamos calcular a soma (integral) das componentes axiais de .
Passo 3
Parametrização do anel e expressão de
.
- Percorrendo o anel usamos o ângulo polar
como parâmetro; um elemento de comprimento do anel é . - A densidade linear de carga é
. - Portanto
- Observação prática: isto mostra que
ao longo do anel corresponde a , como esperado.
Passo 4
Distância do elemento de carga ao ponto e expressão da intensidade elemental do campo.
- Considere um elemento
situado no anel. A distância entre esse elemento e o ponto sobre o eixo (a uma distância do centro) é a mesma para todo o anel e vale
- Pela lei de Coulomb, a intensidade do campo produzido por
em módulo é
- Mas esse
está direcionado ao longo da reta que liga ao ponto; queremos apenas a componente ao longo do eixo .
Passo 5
Encontrar a componente axial de
.
- O ângulo entre a reta que liga
ao ponto e o eixo satisfaz (triângulo retângulo com catetos e e hipotenusa ). - A componente axial (ao longo de
) de é
- Note que aqui
e são constantes quando integramos sobre , porque a distância do ponto ao anel e a coordenada não dependem de .
Passo 6
Integrar ao longo do anel para obter o campo total.
- Integrando
sobre todo o anel:
- Substituindo
e observando que é constante na integração:
- A integral dá
. Portanto
Passo 7
Substituir
e escrever o resultado final, com interpretação.
- Lembrando
, tem-se
- Assim o módulo do campo elétrico no ponto sobre o eixo, a distância
do centro do anel, é
- Direção: este campo aponta ao longo do eixo; se as cargas do anel são positivas, o vetor campo aponta para fora do anel (no sentido que afasta cargas de prova positivas), ou seja, se tomarmos o eixo positivo para a direção que sai do plano do anel em direção ao ponto, o campo tem sinal compatível com
dado acima.
Passo 8
Comentários pedagógicos e casos limites (úteis para prova).
- Caso
(ponto no centro do anel): pela fórmula — faz sentido físico: simetria causa cancelamento completo. - Caso distante
: expandindo , a primeira ordem dá
ou seja, para grandes distâncias o anel se comporta como uma carga pontual
(novamente faz sentido físico).
- Dica prática para prova: a parte mais importante é perceber a simetria que elimina componentes transversais e escrever corretamente
e . Depois a integral é trivial porque os termos dependentes de se cancelam e restam constantes que somam para .