Demonstre detalhadamente que o campo elétrico produzido por um anel de cargas positivas distribuídas uniformemente é dado por:
E=\frac{q x}{4 \pi \varepsilon_{0}\left(x^{2}+R^{2}\right) \frac{3}{2}}
onde p é o módulo do dipolo, x é a distância até o centro do dipolo e \varepsilon_{0} é uma constante.
\left(\mathrm{d} E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{d q}{r^{2}}, d q=\lambda d s\right)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações estão dadas.
  • O enunciado pede: demonstrar detalhadamente a expressão do campo elétrico produzido por um anel carregado uniformemente, no ponto sobre o eixo do anel a uma distância x do centro, obtendo
E=\frac{q x}{4 \pi \varepsilon_{0}\left(x^{2}+R^{2}\right)^{\tfrac{3}{2}}}.
  • Dados e informações fornecidas:
    • O anel tem raio R.
    • A carga total distribuída uniformemente ao longo do anel é q.
    • O ponto onde se deseja o campo está sobre o eixo do anel, à distância x do centro do anel (no centro do anel o eixo é perpendicular ao plano do anel).
    • A densidade linear de carga é indicada implicitamente pela relação dq=\lambda\,ds.
    • A expressão elemental da intensidade do campo de um elemento de carga é dada por dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dq}{r^{2}}.
  • Observação sobre notação: o enunciado menciona p como “módulo do dipolo” em algum lugar, mas a fórmula a demonstrar usa q. Vou usar q como a carga total do anel (essa é a notação usual para este problema).

Passo 2

Entender a simetria e o que contribui para o campo. Explicação conceitual:
  • Cada pedaço de carga dq produz um campo elétrico d\vec{E} no ponto de interesse, segundo a Lei de Coulomb. A direção de d\vec{E} é radial, apontando do elemento de carga para o ponto.
  • Pelo anel ser circular e a distribuição ser uniforme, para cada elemento dq existe um elemento oposto dq' no anel que tem componente do campo lateral (perpendicular ao eixo) de mesma magnitude e sentido oposto; portanto, todas as componentes transversais (radiais no plano do anel) se cancelam por simetria.
  • Logo, apenas a componente ao longo do eixo do anel (vamos chamar de direção x) permanece após integrar todo o anel. Isso simplifica muito: só precisamos calcular a soma (integral) das componentes axiais de d\vec{E}.

Passo 3

Parametrização do anel e expressão de dq.
  • Percorrendo o anel usamos o ângulo polar \varphi como parâmetro; um elemento de comprimento do anel é ds=R\,d\varphi.
  • A densidade linear de carga é \lambda=\dfrac{q}{\text{comprimento total}}=\dfrac{q}{2\pi R}.
  • Portanto
dq=\lambda\,ds=\frac{q}{2\pi R}\cdot R\,d\varphi=\frac{q}{2\pi}\,d\varphi.
  • Observação prática: isto mostra que \int dq ao longo do anel corresponde a \int_{0}^{2\pi}\dfrac{q}{2\pi}\,d\varphi=q, como esperado.

Passo 4

Distância do elemento de carga ao ponto e expressão da intensidade elemental do campo.
  • Considere um elemento dq situado no anel. A distância entre esse elemento e o ponto sobre o eixo (a uma distância x do centro) é a mesma para todo o anel e vale
r=\sqrt{R^{2}+x^{2}}.
  • Pela lei de Coulomb, a intensidade do campo produzido por dq em módulo é
dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{r^{2}}.
  • Mas esse dE está direcionado ao longo da reta que liga dq ao ponto; queremos apenas a componente ao longo do eixo x.

Passo 5

Encontrar a componente axial de d\vec{E}.
  • O ângulo entre a reta que liga dq ao ponto e o eixo x satisfaz \cos\theta=\dfrac{x}{r} (triângulo retângulo com catetos x e R e hipotenusa r).
  • A componente axial (ao longo de x) de d\vec{E} é
dE_{x}=dE\cos\theta=\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{r^{2}}\right)\frac{x}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{x\,dq}{r^{3}}.
  • Note que aqui x e r são constantes quando integramos sobre \varphi, porque a distância do ponto ao anel e a coordenada x não dependem de \varphi.

Passo 6

Integrar ao longo do anel para obter o campo total.
  • Integrando dE_{x} sobre todo o anel:
E_{x}=\int dE_{x}=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{x\,dq}{r^{3}}.
  • Substituindo dq=\dfrac{q}{2\pi}\,d\varphi e observando que r=\sqrt{R^{2}+x^{2}} é constante na integração:
E_{x}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{x}{r^{3}}\int_{0}^{2\pi}dq =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{x}{r^{3}}\int_{0}^{2\pi}\frac{q}{2\pi}\,d\varphi.
  • A integral dá \int_{0}^{2\pi}\dfrac{q}{2\pi}\,d\varphi=q. Portanto
E_{x}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{x\,q}{r^{3}}.

Passo 7

Substituir r e escrever o resultado final, com interpretação.
  • Lembrando r=\sqrt{R^{2}+x^{2}}, tem-se
r^{3}=\bigl(R^{2}+x^{2}\bigr)^{\tfrac{3}{2}}.
  • Assim o módulo do campo elétrico no ponto sobre o eixo, a distância x do centro do anel, é
E=\frac{q\,x}{4\pi\varepsilon_{0}\bigl(x^{2}+R^{2}\bigr)^{\tfrac{3}{2}}}.
  • Direção: este campo aponta ao longo do eixo; se as cargas do anel são positivas, o vetor campo aponta para fora do anel (no sentido que afasta cargas de prova positivas), ou seja, se tomarmos o eixo positivo para a direção que sai do plano do anel em direção ao ponto, o campo tem sinal compatível com E_{x} dado acima.

Passo 8

Comentários pedagógicos e casos limites (úteis para prova).
  • Caso x=0 (ponto no centro do anel): pela fórmula E=0 — faz sentido físico: simetria causa cancelamento completo.
  • Caso distante x\gg R: expandindo \bigl(x^{2}+R^{2}\bigr)^{3/2}\approx x^{3}\left(1+\tfrac{3}{2}\tfrac{R^{2}}{x^{2}}+\cdots\right), a primeira ordem dá
E\approx\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{x^{2}},
ou seja, para grandes distâncias o anel se comporta como uma carga pontual q (novamente faz sentido físico).
  • Dica prática para prova: a parte mais importante é perceber a simetria que elimina componentes transversais e escrever corretamente dq e \cos\theta. Depois a integral é trivial porque os termos dependentes de \varphi se cancelam e restam constantes que somam para q.

Resposta

E=\frac{q\,x}{4\pi\varepsilon_{0}\bigl(x^{2}+R^{2}\bigr)^{\tfrac{3}{2}}}

Exercícios relacionados