O motor de arranque de um automóvel está girando muito devagar, e o mecânico não sabe se o problema está no motor, no cabo ou na bateria. De acordo com o manual, a resistência interna da bateria de 12 V não deveria ser maior que 0,020 \Omega, a resistência do motor não deveria ultrapassar 0,200 \Omega e a resistência do cabo não deveria ser maior que 0,040 \Omega. O mecânico liga o motor e mede 11,4 \mathrm{~V} entre os terminais da bateria, 3,0 \mathrm{~V} entre as extremidades do cabo e uma corrente de 50 A . Qual é o componente defeituoso? (\varepsilon=\mathrm{Ri})

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do manual (limites máximos):
    • resistência interna da bateria: r_{\text{b}}\le 0,020\\ \Omega.
    • resistência do motor: R_{\text{m}}\le 0,200\\ \Omega.
    • resistência do cabo: R_{\text{c}}\le 0,040\\ \Omega.
  • Medidas feitas pelo mecânico:
    • tensão nominal da bateria: \varepsilon = 12\\ \mathrm{V} (dado do enunciado).
    • tensão entre os terminais da bateria durante o teste: V_{\text{term}} = 11,4\\ \mathrm{V}.
    • tensão entre as extremidades do cabo (ou seja, queda de tensão no cabo): V_{\text{c}} = 3,0\\ \mathrm{V}. (O enunciado diz “entre as extremidades do cabo”, então essa é a queda de tensão no cabo.)
    • corrente medida no circuito: I = 50\\ \mathrm{A}.
O que é pedido: determinar qual componente (bateria, cabo ou motor) está fora das especificações (defeituoso), comparando as resistências medidas com os limites do manual.

Passo 2

Modelo elétrico e fórmula básica (explicando a teoria de forma simples).
  • Modelo: a bateria ideal de força eletromotriz \varepsilon tem uma resistência interna r_{\text{b}}. Em série com ela estão o cabo com resistência R_{\text{c}} e o motor com resistência R_{\text{m}}. Em circuito série a mesma corrente I passa por todos os elementos.
  • Lei de Ohm (regra básica): para qualquer resistência R com corrente I passando, a queda de tensão é V = I\,R.Aqui V é a tensão em volts, I é a corrente em ampères e R é a resistência em ohms.
  • Tensão nos terminais da bateria quando fornece corrente: a tensão medida nos terminais é a força eletromotriz menos a queda interna: V_{\text{term}} = \varepsilon - I\,r_{\text{b}}.Podemos isolar r_{\text{b}}: r_{\text{b}} = \frac{\varepsilon - V_{\text{term}}}{I}.Essa fórmula vem de somar quedas de tensão na malha e rearranjar.

Passo 3

Calcular a resistência interna da bateria e comparar com o limite.
  • Aplicando a fórmula: r_{\text{b}} = \frac{\varepsilon - V_{\text{term}}}{I} = \frac{12 - 11{,}4}{50}\\ \Omega.
  • Fazer a conta passo a passo: \varepsilon - V_{\text{term}} = 12 - 11{,}4 = 0{,}6\\ \mathrm{V}.
r_{\text{b}} = \frac{0{,}6}{50} = 0{,}012\\ \Omega.
  • Comparação com o limite: r_{\text{b}} = 0{,}012\\ \Omega \le 0{,}020\\ \Omega. Portanto, a bateria está dentro da especificação do manual.

Passo 4

Calcular a resistência do cabo a partir da queda de tensão medida e comparar com o limite.
  • A queda de tensão no cabo é V_{\text{c}} = 3{,}0\\ \mathrm{V}. Pela lei de Ohm: R_{\text{c}} = \frac{V_{\text{c}}}{I} = \frac{3{,}0}{50}\\ \Omega.
  • Calculando: R_{\text{c}} = 0{,}06\\ \Omega.
  • Comparação com o limite: R_{\text{c}} = 0{,}06\\ \Omega > 0{,}040\\ \Omega. Assim, o cabo excede o valor máximo permitido pelo manual — indicador claro de defeito no cabo.

Passo 5

Calcular a resistência do motor (para confirmar que ele está dentro do aceitável).
  • A tensão disponível no motor é a tensão nos terminais da bateria menos a queda no cabo: V_{\text{m}} = V_{\text{term}} - V_{\text{c}} = 11{,}4 - 3{,}0 = 8{,}4\\ \mathrm{V}.
  • Pela lei de Ohm: R_{\text{m}} = \frac{V_{\text{m}}}{I} = \frac{8{,}4}{50} = 0{,}168\\ \Omega.
  • Comparação com o limite: R_{\text{m}} = 0{,}168\\ \Omega \le 0{,}200\\ \Omega. Portanto, o motor também está dentro da especificação.

Passo 6

Resumo dos resultados (valores calculados e comparação):
  • r_{\text{b}} = 0{,}012\\ \Omega \le 0{,}020\\ \Omega → bateria OK.
  • R_{\text{c}} = 0{,}060\\ \Omega > 0{,}040\\ \Omega → cabo fora do limite (defeito).
  • R_{\text{m}} = 0{,}168\\ \Omega \le 0{,}200\\ \Omega → motor OK.

Resposta

O cabo está defeituoso.

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