Demonstre como determinar a matriz X na equação: A+B cdot X=C, assumindo que A, B e C são conhecidas e que B é invertível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir a matriz X na equação A + B cdot X = C . Aqui, A , B e C são matrizes conhecidas, e B é invertível, ou seja, tem uma matriz inversa B^-1 . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de matrizes e a ideia de multiplicar ambos os lados da equação por B^-1 para isolar X .

Passo 2

Primeiro, vamos isolar o termo que tem X . Temos:
A + B cdot X = C
Para isolar B cdot X , subtraímos A de ambos os lados:
B cdot X = C - A

Passo 3

Agora, queremos encontrar X . Como B é invertível, podemos multiplicar ambos os lados da equação pela matriz inversa de B , que é B^-1 . Isso nos ajuda a “desfazer” a multiplicação por B .
B^-1 cdot (B cdot X) = B^-1 cdot (C - A)

Passo 4

Sabemos que a multiplicação de uma matriz por sua inversa resulta na matriz identidade I :
B^-1 cdot B = I
Então, a equação fica:
I cdot X = B^-1 cdot (C - A)
Como qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma, temos:
X = B^-1 cdot (C - A)

Resposta

A matriz X é dada por:
X = B^-1 cdot (C - A)

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