Determine, se possível, para que a matriz seja simétrica. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de x em R que tornam a matriz A simétrica. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e como verificar essa propriedade. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz simétrica. Uma matriz A é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, A = A^T . A transposta de uma matriz A , denotada por A^T , é obtida trocando as linhas pelas colunas da matriz original.
Passo 3
Então, para a nossa matriz A ser simétrica, cada elemento aij deve ser igual ao elemento aji . Vamos analisar a matriz dada:
A = 0 & 2x & 1 x^2 & 0 & -4x x+1 & x^3 & 0
Passo 4
Vamos identificar os pares de elementos que precisam ser iguais para que A seja simétrica:
a12 = a21
a13 = a31
a23 = a32
Vamos escrever essas igualdades usando os valores de A :
2x = x^2
1 = x + 1
-4x = x^3
Passo 5
Agora, vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar os possíveis valores de x .
Primeira equação:
2x = x^2 x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0
As soluções são x = 0 ou x = 2 .
Segunda equação:
1 = x + 1 x = 0
Terceira equação:
-4x = x^3 x^3 + 4x = 0 x(x^2 + 4) = 0
As soluções são x = 0 ou x^2 + 4 = 0 . Como x^2 + 4 nunca é zero para x real, a única solução é x = 0 .
Passo 6
Agora, vamos verificar quais valores de x satisfazem todas as três equações simultaneamente.
x = 0 :
Primeira equação: 2(0) = 0^2 Rightarrow 0 = 0 (Verdadeiro)