Determine, se possível, x in R para que a matriz A=[ccc0 & 2 x & 1 x^2 & 0 & -4 x x+1 & x^3 & 0] seja simétrica. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de x em R que tornam a matriz A simétrica. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e como verificar essa propriedade. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz simétrica. Uma matriz A é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, A = A^T . A transposta de uma matriz A , denotada por A^T , é obtida trocando as linhas pelas colunas da matriz original.

Passo 3

Então, para a nossa matriz A ser simétrica, cada elemento aij deve ser igual ao elemento aji . Vamos analisar a matriz dada:
A = 0 & 2x & 1 x^2 & 0 & -4x x+1 & x^3 & 0

Passo 4

Vamos identificar os pares de elementos que precisam ser iguais para que A seja simétrica:
  1. a12 = a21
  2. a13 = a31
  3. a23 = a32
Vamos escrever essas igualdades usando os valores de A :
  1. 2x = x^2
  2. 1 = x + 1
  3. -4x = x^3

Passo 5

Agora, vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar os possíveis valores de x .
Primeira equação:
2x = x^2 x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0
As soluções são x = 0 ou x = 2 .
Segunda equação:
1 = x + 1 x = 0
Terceira equação:
-4x = x^3 x^3 + 4x = 0 x(x^2 + 4) = 0
As soluções são x = 0 ou x^2 + 4 = 0 . Como x^2 + 4 nunca é zero para x real, a única solução é x = 0 .

Passo 6

Agora, vamos verificar quais valores de x satisfazem todas as três equações simultaneamente.
  • x = 0 :
    • Primeira equação: 2(0) = 0^2 Rightarrow 0 = 0 (Verdadeiro)
    • Segunda equação: 1 = 0 + 1 Rightarrow 1 = 1 (Verdadeiro)
    • Terceira equação: -4(0) = 0^3 Rightarrow 0 = 0 (Verdadeiro)
  • x = 2 :
    • Primeira equação: 2(2) = 2^2 Rightarrow 4 = 4 (Verdadeiro)
    • Segunda equação: 1 = 2 + 1 Rightarrow 1 = 3 (Falso)
Portanto, apenas x = 0 satisfaz todas as equações.

Resposta

O valor de x que torna a matriz A simétrica é x = 0 .

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