Demonstre que a dízima periódica 0,232323 ldots é igual a 23 / 99.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para a gente demonstrar que a dízima periódica 0,23 é igual a 2399. Para isso, vamos usar o conteúdo de frações e números decimais periódicos. Basicamente, vamos transformar essa dízima em uma fração, mostrando passo a passo como chegar nesse resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a dízima de x. Ou seja:
x = 0,23
Isso significa que x = 0,232323.

Passo 3

Agora, para eliminar a parte decimal periódica, vamos multiplicar x por 100, já que o período da dízima (23) tem duas casas decimais:
100x = 23,232323
Perceba que a parte decimal após a multiplicação é a mesma que a original.

Passo 4

Temos agora duas equações:
  1. x = 0,232323
  2. 100x = 23,232323
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar a parte decimal:
100x - x = 23,232323 - 0,232323
99x = 23

Passo 5

Para encontrar o valor de x, basta dividir os dois lados da equação por 99:
x = 2399

Resposta

Portanto, a dízima periódica 0,23 é igual a 2399.

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