Encontre a fração geratriz da dízima periódica:
0,2050505ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a fração que representa a dízima periódica 0,2050. Isso envolve trabalhar com decimais que se repetem infinitamente. Para resolvermos isso, vamos utilizar conceitos de frações geratrizes e técnicas de manipulação algébrica de decimais periódicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma dízima periódica. É um número decimal que possui um ou mais dígitos que se repetem infinitamente. No caso, 0,2050505ldots tem a parte que se repete sendo “05”.
Para transformar esse número em uma fração, vamos chamar o número de x:
x = 0,2050

Passo 3

Observamos que a parte não repetitiva do decimal é “2” e a parte que se repete é “0505…”. No entanto, para facilitar, vamos multiplicar x por uma potência de 10 que coloque a parte repetitiva alinhada.
Como a parte que se repete tem 2 dígitos (“05”), multiplicamos x por 10^2 = 100:
100x = 20,5050505ldots

Passo 4

Agora, subtraímos o original de para eliminar a parte decimal que se repete:

Passo 5

Agora, resolvemos para x:
99x = 20,3 x = 20,399
Para facilitar, podemos transformar 20,3 em uma fração:
20,3 = 20310 x = 2031099 = 203990

Resposta

A fração geratriz da dízima periódica 0,2050 é 203990.

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