Demonstre que a equação da circunferência que tem como diâmetro o segmento de extremos A=(x1, y1) e B= (x2, y2) é (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência cujo diâmetro é o segmento de extremos A=(x1,y1) e B=(x2,y2). Vamos usar geometria analítica e o fato de que num círculo de diâmetro AB, para qualquer ponto P=(x,y) na circunferência vale ang<= APB=90^circ, o que pela Pythagoras equivale a
AP^2 + PB^2 = AB^2

Passo 2

Escrevemos cada distância ao quadrado em coordenadas:
AP^2 = (x - x1)^2 + (y - y1)^2,
PB^2 = (x - x2)^2 + (y - y2)^2,
AB^2 = (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2
A condição para P pertencer à circunferência é
(x - x1)^2 + (y - y1)^2 ;+;(x - x2)^2 + (y - y2)^2 ;=; (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2

Passo 3

Agora expandimos e simplificamos a parte em x:
(x - x1)^2 + (x - x2)^2 - (x1 - x2)^2 = 2l(x^2 - x(x1+x2) + x1x2r) = 2,(x - x1)(x - x2),
e de modo análogo na parte em y obtemos
(y - y1)^2 + (y - y2)^2 - (y1 - y2)^2 = 2,(y - y1)(y - y2)

Passo 4

Somando as partes em x e em y e igualando a zero, surge
2l[(x - x1)(x - x2) + (y - y1)(y - y2)r]=0
Dividindo por 2, concluímos que a equação procurada é
(x - x1)(x - x2) + (y - y1)(y - y2) = 0

Resposta

(x - x1)(x - x2) + (y - y1)(y - y2) = 0

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