Determine a, b, c, x, y, z para que a matriz [ccc2 x & a+b & a-2 b -6 & y^2 & 2 c 5 & 8 & z-1] seja antissimétrica.
5. Sendo A=[rr2 & 1 0 & -1 3 & 2] e B=[rr0 & 1 7 & 3 -4 & 5], determine A+B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte pede pra gente encontrar os valores de a, b, c, x, y e z de forma que a matriz dada seja antissimétrica. Isso envolve entender o que significa uma matriz ser antissimétrica e aplicar isso para encontrar os valores que estamos procurando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz antissimétrica. Uma matriz M é antissimétrica se ela for igual ao negativo da sua transposta, ou seja, M^T = -M. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.

Passo 3

Vamos escrever a matriz dada e sua transposta:
Matriz M:
M = 2x & a + b & a - 2b -6 & y^2 & 2c 5 & 8 & z - 1
Transposta M^T:
M^T = 2x & -6 & 5 a + b & y^2 & 8 a - 2b & 2c & z - 1

Passo 4

Agora, igualamos M^T a -M:
2x & -6 & 5 a + b & y^2 & 8 a - 2b & 2c & z - 1 = - 2x & a + b & a - 2b -6 & y^2 & 2c 5 & 8 & z - 1 = -2x & -(a + b) & -(a - 2b) 6 & -y^2 & -2c -5 & -8 & -(z - 1)

Passo 5

Agora, igualamos elemento por elemento:
  1. 2x = -2x
  2. -6 = -(a + b)
  3. 5 = -(a - 2b)
  4. a + b = 6
  5. y^2 = -y^2
  6. 8 = -2c
  7. a - 2b = -5
  8. 2c = -8
  9. z - 1 = -(z - 1)

Passo 6

Vamos resolver cada equação:
  1. 2x = -2x
    Rightarrow 4x = 0
    Rightarrow x = 0
  2. -6 = -(a + b)
    Rightarrow a + b = 6
  3. 5 = -(a - 2b)
    Rightarrow a - 2b = -5
  4. y^2 = -y^2
    Rightarrow 2y^2 = 0
    Rightarrow y^2 = 0
    Rightarrow y = 0
  5. 8 = -2c
    Rightarrow c = -4
  6. a - 2b = -5 (já temos essa da equação 3)
  7. 2c = -8 (já resolvemos c = -4)
  8. z - 1 = -(z - 1)
    Rightarrow z - 1 = -z + 1
    Rightarrow 2z = 2
    Rightarrow z = 1

Passo 7

Agora, vamos resolver para a e b:
Temos:
a + b = 6 a - 2b = -5
Subtraindo as duas equações:
(a + b) - (a - 2b) = 6 - (-5) a + b - a + 2b = 11 3b = 11 b = 113
Agora, substituindo b na primeira equação:
a + 113 = 6 a = 6 - 113 = 183 - 113 = 73

Passo 8

Agora vamos resolver a segunda parte do exercício, que pede para determinar A + B, onde:
A = 2 & 1 0 & -1 3 & 2 , B = 0 & 1 7 & 3 -4 & 5

Passo 9

Para somar duas matrizes, elas precisam ter o mesmo tamanho, ou seja, o mesmo número de linhas e colunas. No caso, ambas são matrizes 3 times 2, então podemos somá-las.

Passo 10

A soma A + B é feita somando elemento por elemento:
A + B = 2 + 0 & 1 + 1 0 + 7 & -1 + 3 3 + (-4) & 2 + 5 = 2 & 2 7 & 2 -1 & 7

Resposta

A soma das matrizes A + B é:
A + B = 2 & 2 7 & 2 -1 & 7

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