a) Mostre que os gráficos das funções
f(x)=b raiz1-x^2a^2, f(x)=-b raiz1-x^2a^2,-<= x <= a
são semi-elipses;
b) Mostre que se -a<x0<a e y0=f(x0), a equação da reta que contém ( x0, y0 ) e cuja inclinação é f^prime(x0) é dada por x x0a^2+y y0b^2=1, esta é chamada tangente à elipse x^2a^2+y^2b^2=1 no ponto ( x0, y0 ).

Passo 1

O enunciado trata da elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
e das suas semi-elipses definidas por
f(x)=braiz1-x^2a^2, f(x)=-braiz1-x^2a^2, -a<= x<= a
Precisamos (a) mostrar que esses dois ramos são a parte superior e inferior da elipse, e (b) calcular f'(x0) e encontrar a equação da reta tangente em (x0,y0).

Passo 2

Para ver que os gráficos são semi-elipses, basta isolar y na equação da elipse. Da relação
x^2a^2+y^2b^2=1
segue
y^2b^2=1-x^2a^2 ;Longrightarrow; y=pm braiz1-x^2a^2,
com domínio -a<= x<= a. O ramo com sinal + é a semi-elipse superior e o ramo com sinal - é a semi-elipse inferior.

Passo 3

Escolhendo o ramo superior f(x)=braiz1-x^2a^2, calculamos a derivada:
f'(x) =bcdot12raiz1-x^2a^2cdotl(-2xa^2r) =-b,xa^2raiz1-x^2a^2
Como raiz1-x^2a^2=y/b, temos
f'(x) =-b,xa^2,(y/b) =-b^2xa^2y
Em x0 definimos y0=f(x0), então a reta tangente tem equação ponto-inclinação
y-y0=f'(x0),(x-x0) =-b^2x0a^2y0,(x-x0)

Passo 4

Reescrevendo a equação da reta:
y-y0 =-b^2x0a^2y0,x +b^2x0^2a^2y0
Multiplicando tudo por a^2y0 e usando x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 (logo b^2x0^2+a^2y0^2=a^2b^2), chega-se a
b^2x0,x+a^2y0,y=a^2b^2 ;Longrightarrow; x,x0a^2+y,y0b^2=1
Essa é justamente a equação da reta tangente à elipse no ponto (x0,y0).

Resposta

a) Os ramos y=pm braiz1-x^2a^2 são as semi-elipses superior e inferior da elipse x^2a^2+y^2b^2=1.
b) A reta tangente em (x0,y0) é
x,x0a^2+y,y0b^2=1

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