a) Mostre que os gráficos das funções
são semi-elipses;
b) Mostre que se
e
, a equação da reta que contém (
) e cuja inclinação é
é dada por
, esta é chamada tangente à elipse
no ponto (
).
b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado trata da elipse
e das suas semi-elipses definidas por
Precisamos (a) mostrar que esses dois ramos são a parte superior e inferior da elipse, e (b) calcular
e encontrar a equação da reta tangente em
.
Passo 2
Para ver que os gráficos são semi-elipses, basta isolar
na equação da elipse. Da relação
segue
com domínio
. O ramo com sinal
é a semi-elipse superior e o ramo com sinal
é a semi-elipse inferior.
Passo 3
Escolhendo o ramo superior
, calculamos a derivada:
Como
, temos
Em
definimos
, então a reta tangente tem equação ponto-inclinação
Passo 4
Reescrevendo a equação da reta:
Multiplicando tudo por
e usando
(logo
), chega-se a
Essa é justamente a equação da reta tangente à elipse no ponto
.
Resposta
a) Os ramos
são as semi-elipses superior e inferior da elipse
.
b) A reta tangente em é
b) A reta tangente em