• Questão 16: Resolva o sistema linear pelo método de escalonamento:
l 2 x+2 y+4 z=0 3 x+5 y+8 z=0 5 x+25 y+20 z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares e a missão é resolver usando o método de escalonamento. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, resolução de sistemas lineares pelo escalonamento. Para isso, vamos precisar manipular as equações para chegar numa forma mais simples, onde possamos identificar os valores das incógnitas x , y e z .
O sistema que vamos resolver é:
l 2x + 2y + 4z = 0 3x + 5y + 8z = 0 5x + 25y + 20z = 0

Passo 2

Primeiro, vamos escrever esse sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita as operações que vamos fazer.
A matriz aumentada fica assim:
2 & 2 & 4 & | & 0 3 & 5 & 8 & | & 0 5 & 25 & 20 & | & 0

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada, onde conseguimos zerar os elementos abaixo da diagonal principal. Vamos começar eliminando o x das equações abaixo da primeira.
Para isso, vamos usar a primeira linha para zerar o x das outras linhas. Primeiro, multiplicamos a primeira linha por 32 e subtraímos da segunda linha.
L2 = L2 - 32 times L1
2 & 2 & 4 & | & 0 0 & 2 & 2 & | & 0 5 & 25 & 20 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos fazer a mesma coisa para a terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por 52 e subtraímos da terceira linha.
L3 = L3 - 52 times L1
2 & 2 & 4 & | & 0 0 & 2 & 2 & | & 0 0 & 20 & 10 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha. Podemos dividir toda a segunda linha por 2 para facilitar.
L2 = 12 times L2
2 & 2 & 4 & | & 0 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 20 & 10 & | & 0

Passo 6

Vamos usar a segunda linha para eliminar o y da terceira linha. Multiplicamos a segunda linha por 20 e subtraímos da terceira linha.
L3 = L3 - 20 times L2
2 & 2 & 4 & | & 0 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & -10 & | & 0

Passo 7

Agora, observamos que na terceira linha temos -10z = 0 . Isso nos diz que z = 0 .
Voltando para a segunda linha: y + z = 0 . Como z = 0 , então y = 0 .
E na primeira linha: 2x + 2y + 4z = 0 . Substituindo y e z por 0, temos 2x = 0 , então x = 0 .

Resposta

A solução do sistema é x = 0 , y = 0 e z = 0 .

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