Demonstre as equações para o raio, o período e a frequência angular do movimento circular uniforme descrito por uma partícula carregada de massa
e carga
que se movimenta em uma região que tem a ação de um campo magnético homogêneo de módulo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar as equações que descrevem o raio, o período e a frequência angular de um movimento circular uniforme de uma partícula carregada. Isso está dentro da área de Eletromagnetismo e Movimento Circular Uniforme. Para resolver, vamos precisar entender a força magnética (força de Lorentz) e a força centrípeta que mantém a partícula em movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a força magnética. Uma partícula carregada
que se move com uma velocidade
em um campo magnético
sente uma força magnética dada por:
Como o movimento é circular e uniforme, essa força é perpendicular à velocidade e atua como a força centrípeta.
Passo 3
A força centrípeta necessária para manter a partícula em movimento circular de raio
é dada por:
Onde
é a massa da partícula e
é a velocidade tangencial.
Passo 4
Igualando a força magnética à força centrípeta porque a força magnética fornece a força centrípeta:
Passo 5
Agora, vamos resolver para o raio
. Primeiro, simplificamos a equação dividindo ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Para encontrar o período
, que é o tempo que a partícula leva para completar uma volta, usamos a relação entre a velocidade e o perímetro da trajetória:
Substituímos
da equação anterior:
Passo 7
A frequência angular
está relacionada ao período pela fórmula:
Substituindo
da etapa anterior:
Resposta
As equações para o raio, o período e a frequência angular são: