Demonstre as equações para o raio, o período e a frequência angular do movimento circular uniforme descrito por uma partícula carregada de massa m e carga q que se movimenta em uma região que tem a ação de um campo magnético homogêneo de módulo B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar as equações que descrevem o raio, o período e a frequência angular de um movimento circular uniforme de uma partícula carregada. Isso está dentro da área de Eletromagnetismo e Movimento Circular Uniforme. Para resolver, vamos precisar entender a força magnética (força de Lorentz) e a força centrípeta que mantém a partícula em movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a força magnética. Uma partícula carregada FB = q v times B que se move com uma velocidade em um campo magnético sente uma força magnética dada por:
Como o movimento é circular e uniforme, essa força é perpendicular à velocidade e atua como a força centrípeta.

Passo 3

A força centrípeta necessária para manter a partícula em movimento circular de raio Fc = m v^2r é dada por:
Onde é a massa da partícula e é a velocidade tangencial.

Passo 4

Igualando a força magnética à força centrípeta porque a força magnética fornece a força centrípeta:
q v B = m v^2r

Passo 5

Agora, vamos resolver para o raio q B = m vr . Primeiro, simplificamos a equação dividindo ambos os lados por r = m vq B :
Agora, isolamos :

Passo 6

Para encontrar o período T = 2 pi rv , que é o tempo que a partícula leva para completar uma volta, usamos a relação entre a velocidade e o perímetro da trajetória:
T = 2 pi ( m vq B )v = 2 pi mq B
Substituímos da equação anterior:

Passo 7

A frequência angular omega = 2 piT está relacionada ao período pela fórmula:
omega = 2 pi2 pi mq B = q Bm
Substituindo da etapa anterior:

Resposta

As equações para o raio, o período e a frequência angular são:
r = m vq B
T = 2 pi mq B
omega = q Bm

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