Demonstre que a excentricidade de qualquer hipérbole eqüilátera é
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é
. Para isso, vamos usar a forma canônica da hipérbole alinhada aos eixos coordenados, as retas-assíntotas e a fórmula da excentricidade em termos dos parâmetros
e
.
Passo 2
Considere a hipérbole canônica
As suas assíntotas são dadas por
Para que essa hipérbole seja equilátera, suas assíntotas devem ser perpendiculares. O produto das inclinações (
e
) de retas perpendiculares é
, portanto
Passo 3
A excentricidade de uma hipérbole genérica é
Como em uma hipérbole equilátera
, temos
Resposta
A excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é
.