Demonstre que a excentricidade de qualquer hipérbole eqüilátera é raiz2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é raiz2. Para isso, vamos usar a forma canônica da hipérbole alinhada aos eixos coordenados, as retas-assíntotas e a fórmula da excentricidade em termos dos parâmetros a e b.

Passo 2

Considere a hipérbole canônica
x^2a^2 ; - ; y^2b^2 = 1
As suas assíntotas são dadas por
y = pm ba , x
Para que essa hipérbole seja equilátera, suas assíntotas devem ser perpendiculares. O produto das inclinações ( m1 e m2) de retas perpendiculares é -1, portanto
gl(bagr)gl(-bagr) = -1 Longrightarrow b^2a^2 = 1 Longrightarrow b = a

Passo 3

A excentricidade de uma hipérbole genérica é
e = raiz1 + b^2a^2
Como em uma hipérbole equilátera b = a, temos
e = raiz1 + 1 = raiz2

Resposta

A excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é raiz2.

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