Identifique as seguintes cônicas:
a. 2 x^2+x y-y^2+7 x+y+6=0
Resp. par de retas concorrentes

Passo 1

O enunciado pede para identificar que tipo de cônica é dada por
2x^2 + x y - y^2 + 7x + y + 6 = 0
O conteúdo necessário é a classificação de cônicas pela expressão geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
e, em particular, o uso do discriminante De<a = B^2 - 4AC que indica se é elipse ( De<a<0), parábola ( De<a=0) ou hipérbole ( De<a>0). Se for degenerada pode se tornar um par de retas.

Passo 2

Identificamos
A = 2, B = 1, C = -1
então calculamos
De<a = B^2 - 4AC = 1^2 - 4cdot 2cdot(-1) = 1 + 8 = 9 > 0
Como De<a>0, trata-se de uma hipérbole ou de um par de retas reais (caso degenerado). Vamos testar a degenerescência fatorando a expressão.

Passo 3

Procuramos fatorar
2x^2 + x y - y^2 + 7x + y + 6
na forma
(2x + alpha y + beta),(x + gamma y + de<a)
Igualando coeficientes surge o sistema
2gamma + alpha = 1, alphagamma = -1, 2de<a + beta = 7, alphade<a + betagamma = 1, beta,de<a = 6,
cuja solução inteira é alpha=-1, gamma=1, beta=3, de<a=2. Logo
2x^2 + x y - y^2 + 7x + y + 6 = (2x - y + 3),(x + y + 2)

Passo 4

A escrita em produto de duas retas reais mostra que a cônica é um caso degenerado de hipérbole, isto é, um par de retas concorrentes.

Resposta

par de retas concorrentes

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