Determine a equação da hipérbole:
e. de eixos paralelos aos eixos coordenados, com focos em (1,0) e (1,4) e excentricidade igual a 3 ;
Resp. (y-2)^249-(x-1)^2329=1

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar a equação de uma hipérbole de eixos paralelos aos eixos coordenados, com focos em (1,0) e (1,4) e excentricidade igual a 3. Vamos usar geometria analítica de cônicas, em particular as definições de centro, foco, excentricidade e e as relações
e=ca, b^2 = c^2 - a^2,
onde c é a distância do centro a cada foco, a o semi-eixo real e b o semi-eixo imaginário.

Passo 2

Os focos são
F1=(1,0), F2=(1,4)
O centro (h,k) é o ponto médio dos focos:
h = 1, k = 0+42 = 2
Como os focos estão sobre a reta x=1 (vertical), a hipérbole abre para cima e para baixo e sua forma padrão é
(y-k)^2a^2 ;-;(x-h)^2b^2 ;=;1
A distância do centro a cada foco é
c = raiz(1-1)^2 + (4-2)^2 = 2

Passo 3

Pela definição de excentricidade temos
e = ca = 3 Longrightarrow a = ce = 23,
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a^2 = 49

Passo 4

Usando a relação entre a, b e c na hipérbole,
b^2 = c^2 - a^2 = 4 - 49 = 369 - 49 = 329

Passo 5

Substituindo h=1, k=2, a^2=tfrac49 e b^2=tfrac329 na forma canônica, obtemos
(y-2)^2tfrac49 ;-;(x-1)^2tfrac329 ;=;1

Resposta

(y-2)^2tfrac49 ;-;(x-1)^2tfrac329 = 1

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