Use multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos da função sujeita à restrição dada.
Passo 1
O enunciado pede os extremos de
sujeito à restrição
O método de multiplicadores de Lagrange diz para definirmos
e resolvermos
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Da terceira equação vem a restrição
Substituindo em
e em
, com
obtemos duas expressões para
:
Passo 4
Igualando as duas fórmulas de
:
Se
podemos dividir por
, obtendo
Além disso
também é solução das equações de
.
Passo 5
Os pontos críticos na reta
são:
Passo 6
Avaliaremos
em cada ponto:
em ,
em
em
,
Na reta
temos sempre
, logo
.
Portanto é mínimo (valor
) e
são máximos (valor
).
Portanto
Resposta
Mínimo em
com
.
Máximos em com
.
Máximos em