Use multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos da função sujeita à restrição dada.
f(x, y)=x y e^-x^2-y^2 ; 2 x-y=0

Passo 1

O enunciado pede os extremos de
f(x,y)=x,y,e^-x^2-y^2
sujeito à restrição
2x - y = 0
O método de multiplicadores de Lagrange diz para definirmos
L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambdal(2x-yr)
e resolvermos
partial Lpartial x=0, partial Lpartial y=0, partial Lpartial lambda=0

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de L:
partial Lpartial x = partialpartial xl(xy,e^-x^2-y^2r) -2lambda = y,e^-x^2-y^2l(1-2x^2r)-2lambda =0,
partial Lpartial y = partialpartial yl(xy,e^-x^2-y^2r) +lambda = x,e^-x^2-y^2l(1-2y^2r)+lambda =0,
partial Lpartial lambda = -(2x-y)=0

Passo 3

Da terceira equação vem a restrição
y=2x
Substituindo em partial L/partial x=0 e em partial L/partial y=0, com
e^-x^2-y^2=e^-x^2-4x^2=e^-5x^2,
obtemos duas expressões para lambda:
y,e^-5x^2(1-2x^2)-2lambda=0 ;Longrightarrow; lambda = x,e^-5x^2(1-2x^2),
x,e^-5x^2(1-2y^2)+lambda=0 ;Longrightarrow; lambda = -,x,e^-5x^2l(1-8x^2r)

Passo 4

Igualando as duas fórmulas de lambda:
x,e^-5x^2(1-2x^2) = -,x,e^-5x^2(1-8x^2)
Se xneq0 podemos dividir por x,e^-5x^2, obtendo
1-2x^2=-1+8x^2 Longrightarrow 10x^2=2 Longrightarrow x^2=15
Além disso x=0 também é solução das equações de lambda.

Passo 5

Os pontos críticos na reta y=2x são:
x=0,;y=0; x=pm1raiz5,; y=pm2raiz5

Passo 6

Avaliaremos f em cada ponto:
em (0,0),
f(0,0)=0
em l(pm1raiz5,pm2raiz5r),
f = 1raiz5cdot2raiz5, e^-,l(1raiz5r)^2-l(2raiz5r)^2 = 25,e^-1 = 25e
Na reta y=2x temos sempre xy=2x^2>=0, logo f>=0.
Portanto (0,0) é mínimo (valor 0) e
l(pm1raiz5,pm2raiz5r) são máximos (valor 2/(5e)).

Resposta

Mínimo em (0,0) com f(0,0)=0.
Máximos em l(pmtfrac1raiz5,pmtfrac2raiz5r) com f=2/(5e).

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