Em uma região do espaço, uma partícula quântica com energia total igual a zero tem função de onda
psi(x)=A e^-x^2 / L^2
Esboce U(x) em função de x.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é: o enunciado diz que temos uma partícula quântica numa dimensão, com energia total E=0, e função de onda
psi(x)=A,e^-x^2/L^2,
O que pedem é esboçar o potencial U(x) que leva a essa psi(x) como solução da Equação de Schrödinger independente do tempo.
Conteúdo: Equação de Schrödinger em 1D; vamos precisar calcular derivadas de psi(x) e isolar U(x).

Passo 2

A Equação de Schrödinger independente do tempo em 1D é
-hbar^22m,psi''(x) ;+; U(x),psi(x) ;=; E,psi(x),
Como E=0, a gente reescreve:
U(x),psi(x) ;=;hbar^22m,psi''(x)Longrightarrow U(x)=hbar^22m,psi''(x)psi(x),

Passo 3

Agora bora achar psi''(x). Primeiro:
psi'(x)=ddxl(Ae^-x^2/L^2r) =-A2xL^2e^-x^2/L^2 =-2xL^2,psi(x),
De novo:
psi''(x)=ddxl(-tfrac2xL^2psi(x)r) =-2L^2psi(x) -2xL^2psi'(x),
Mas já sabemos psi'(x)=-tfrac2xL^2psi(x), então
psi''(x) =-2L^2psi(x) -2xL^2l(-tfrac2xL^2psi(x)r) =l(tfrac4x^2L^4-tfrac2L^2r),psi(x),

Passo 4

Substituindo em
$$U(x)=\frac{\hbar^2}{2m},\frac{\psi’’(x)}{\psi(x)}
=\frac{\hbar2}{2m}\Bigl(\tfrac{4x2}{L4}-\tfrac{2}{L2}\Bigr), U(x)=hbar^22m,psi''(x)psi(x) =hbar^22ml(tfrac4x^2L^4-tfrac2L^2r),, é\boxed{,U(x)=\frac{2\hbar2}{m,L4};x2;-;\frac{\hbar2}{m,L^2},.}$$
Ou seja, é uma parábola em boxed,U(x)=2hbar^2m,L^4;x^2;-;hbar^2m,L^2,, com coeficiente positivo de x e deslocada pra baixo.

Passo 5

Pra esboçar:
  • Em x=0, U(0)=-hbar^2/(mL^2) (valor mínimo).
  • Conforme |x| cresce, o termo propto x^2 domina e U(x)to +infty.
    Então o gráfico é uma parábola voltada pra cima, centrada em zero, com “vale” em U(0)<0.

Resposta

U(x)=2hbar^2mL^4,x^2 ;-;hbar^2mL^2,,
que, graficamente, é uma parábola de concavidade para cima, com mínimo em x=0 valendo -hbar^2/(mL^2),.

Exercícios relacionados