Demonstre que as funções seguintes não têm derivadas finitas:
y=raizx no ponto x=0.

Passo 1

Temos a função y=\sqrt{x} e queremos verificar se ela tem derivada finita no ponto x=0. O conteúdo envolvido é a definição de derivada via limite do quociente incremental, e vamos precisar usar limites unilaterais porque \sqrt{x} só está definida para x\ge0.

Passo 2

Aplicamos a definição da derivada em x=0 considerando h\to0^+ (apenas pela direita):
$$
f’(0)=\lim_{h\to0+}\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\lim_{h\to0+}\frac{\sqrt{h}}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{1}{\sqrt{h}}$$
Como f'(0)=limhto0^+raiz0+h-raiz0h=limhto0^+raizhh=limhto0^+1raizh quando h\to0^+, o quociente raizhto0 cresce sem limite.

Passo 3

O limite do quociente incremental é +\infty, ou seja, não é um número finito. Logo, a derivada em x=0 não existe como valor finito.

Resposta

A derivada em x=0 diverge para +∞, portanto não existe derivada finita nesse ponto.

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