Demonstre que as funções seguintes não têm derivadas finitas:
no ponto
.
Passo 1
Temos a função y=\sqrt{x} e queremos verificar se ela tem derivada finita no ponto x=0. O conteúdo envolvido é a definição de derivada via limite do quociente incremental, e vamos precisar usar limites unilaterais porque \sqrt{x} só está definida para x\ge0.
Passo 2
Aplicamos a definição da derivada em x=0 considerando h\to0^+ (apenas pela direita):
$$
f’(0)=\lim_{h\to0+}\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\lim_{h\to0+}\frac{\sqrt{h}}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{1}{\sqrt{h}}$$
Como
quando h\to0^+, o quociente
cresce sem limite.
Passo 3
O limite do quociente incremental é +\infty, ou seja, não é um número finito. Logo, a derivada em x=0 não existe como valor finito.
Resposta
A derivada em x=0 diverge para +∞, portanto não existe derivada finita nesse ponto.