A que são iguais os coeficientes angulares das tangentes às curvas
e
no ponto de sua intersecção? Represente as equações dessas tangentes e ache o ângulo entre elas.
Passo 1
A questão nos pede para achar os coeficientes angulares das tangentes às curvas y = 1/x e y = x² no ponto em que elas se intersectam, montar as equações dessas tangentes e calcular o ângulo entre elas. Vamos precisar: 1) encontrar o ponto de interseção resolvendo x² = 1/x; 2) calcular as derivadas dy/dx de cada curva para obter os coeficientes angulares; 3) usar a forma ponto-inclinação para escrever as equações das retas; 4) usar a fórmula do ângulo entre retas tanθ = |(m₂ - m₁)/(1 + m₁m₂)|.
Passo 2
Primeiro achamos o ponto de interseção. Igualando as funções: x² = 1/x. Multiplicando ambos os lados por x (e excluindo x = 0), obtemos x³ = 1, logo x = 1. Substituindo em y = x² ou em y = 1/x, temos y = 1. Portanto o ponto de interseção é (1, 1).
Passo 3
Agora calculamos as derivadas para obter os coeficientes angulares. Para y = 1/x, usamos a regra de potência y = x^(–1), logo dy/dx = –1·x^(–2) = –1/x² e no ponto x = 1 temos m₁ = –1. Para y = x², dy/dx = 2x e em x = 1 temos m₂ = 2.
Passo 4
Com os coeficientes m₁ = –1 e m₂ = 2 e o ponto (1,1), montamos as equações pelo formato ponto-inclinação y – y₀ = m(x – x₀). Assim, para a primeira curva:
[ y – 1 = –1·(x – 1) ]
que simplifica para
[ y = –x + 2 ]
E para a segunda:
[ y – 1 = 2·(x – 1) ]
que fica
[ y = 2x – 1 ]
[ y – 1 = –1·(x – 1) ]
que simplifica para
[ y = –x + 2 ]
E para a segunda:
[ y – 1 = 2·(x – 1) ]
que fica
[ y = 2x – 1 ]
Passo 5
Para o ângulo θ entre as retas usamos
[ \tan\theta = \left|\frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{1} m_{2}}\right| = \left|\frac{2 - (-1)}{1 + (2)(-1)}\right| = \left|\frac{3}{-1}\right| = 3 ]
Logo
[ \theta = \arctan(3) \approx 71{,}6^\circ ]
[ \tan\theta = \left|\frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{1} m_{2}}\right| = \left|\frac{2 - (-1)}{1 + (2)(-1)}\right| = \left|\frac{3}{-1}\right| = 3 ]
Logo
[ \theta = \arctan(3) \approx 71{,}6^\circ ]
Resposta
Coeficientes angulares: m₁ = –1 e m₂ = 2. Equações das tangentes:
y = –x + 2
y = 2x – 1
Ângulo entre elas: θ = arctan(3) ≈ 71,6°
y = –x + 2
y = 2x – 1
Ângulo entre elas: θ = arctan(3) ≈ 71,6°