Demonstre as identidades (dica: use a transformada ou a inversa, conforme a facilidade): -F{u(t) e^{-a t}} = 1/(a+i ω), a>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa demonstrar que a transformada de Fourier de (onde ) é igual a . Isso envolve conceitos de Transformada de Fourier e funções escalares como a função degrau . Vamos usar a definição da Transformada de Fourier para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, lembra que a Transformada de Fourier de uma função é dada por:
No nosso caso, . A função é a função degrau de Heaviside, que vale 0 para e 1 para . Isso simplifica a integral, porque para , .

Passo 3

Então, a transformada fica:
Aqui combinamos os expoentes, já que .

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
Sabemos que , então a parte real do expoente é negativa, garantindo que a integral vai convergir.

Passo 5

Integrando, temos:
Quando vai para , tende a 0 porque . Para , o exponencial vale 1.

Passo 6

Substituindo os limites na expressão:

Passo 7

Então, a Transformada de Fourier de é . Mas a gente queria mostrar que .

Resposta

Finalmente, demonstramos que:

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