Demonstre as identidades (dica: use a transformada ou a inversa, conforme a facilidade):
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa demonstrar que a transformada de Fourier de
(onde
) é igual a
. Isso envolve conceitos de Transformada de Fourier e funções escalares como a função degrau
. Vamos usar a definição da Transformada de Fourier para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, lembra que a Transformada de Fourier de uma função
é dada por:
No nosso caso,
. A função
é a função degrau de Heaviside, que vale 0 para
e 1 para
. Isso simplifica a integral, porque para
,
.
Passo 3
Então, a transformada fica:
Aqui combinamos os expoentes, já que
.
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral:
Sabemos que
, então a parte real do expoente é negativa, garantindo que a integral vai convergir.
Passo 5
Integrando, temos:
Quando
vai para
,
tende a 0 porque
. Para
, o exponencial vale 1.
Passo 6
Substituindo os limites na expressão:
Passo 7
Então, a Transformada de Fourier de
é
. Mas a gente queria mostrar que
.
Resposta
Finalmente, demonstramos que: